题目

Problem

[In this question $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are perpendicular horizontal unit vectors.]

A particle $P$ is moving with constant acceleration. At 2 pm, the velocity of $P$ is $(3\mathbf{i}+5\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ and at 2.30 pm the velocity of $P$ is $(\mathbf{i}+7\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ .

At time $T$ hours after 2 pm, $P$ is moving in the direction of the vector $(-\mathbf{i}+2\mathbf{j})$ .

(a) Find the value of $T$ .

(6)

Another particle, $Q$ , has velocity $\mathbf{v}_Q\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ at time $t$ hours after 2 pm, where

\mathbf{v}_Q=(-4-2t)\mathbf{i}+(\mu+3t)\mathbf{j}

and $\mu$ is a constant.

Given that there is an instant when the velocity of $P$ is equal to the velocity of $Q$ ,

(b) find the value of $\mu$ .

(3)

题目中文翻译

[本题中， $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 为互相垂直的水平单位向量。]

质点 $P$ 做匀加速运动。下午 2 时， $P$ 的速度为 $(3\mathbf{i}+5\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ ；下午 2 时 30 分， $P$ 的速度为 $(\mathbf{i}+7\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ 。

下午 2 时之后 $T$ 小时， $P$ 沿向量 $(-\mathbf{i}+2\mathbf{j})$ 的方向运动。

(a) 求 $T$ 的值。

(6)

另一个质点 $Q$ 在下午 2 时之后 $t$ 小时的速度为 $\mathbf{v}_Q\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ ，其中

\mathbf{v}_Q=(-4-2t)\mathbf{i}+(\mu+3t)\mathbf{j}

且 $\mu$ 为常数。

已知存在某一瞬间， $P$ 和 $Q$ 的速度相等，

(b) 求 $\mu$ 的值。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

时间单位统一为小时，用半小时内的速度变化求加速度向量。同方向意味着速度是给定向量的正倍数；解出时间后还要检查倍数为正。

答题过程

展开

Take $t$ in hours after 2 pm. The constant acceleration is

\mathbf a=\frac{(\mathbf i+7\mathbf j)-(3\mathbf i+5\mathbf j)}{0.5} =-4\mathbf i+4\mathbf j\ \mathrm{km\,h^{-2}}.

Hence

\mathbf v_P=(3-4t)\mathbf i+(5+4t)\mathbf j\ \mathrm{km\,h^{-1}}.

At $t=T$ , the ratio of the $\mathbf j$ component to the $\mathbf i$ component is $-2$ , giving

\begin{align*} 5+4T=&\,-2(3-4T),\\ 5+4T=&\,-6+8T,\\ T=&\,\boxed{\frac{11}{4}}. \end{align*}

At this time $\mathbf v_P=-8\mathbf i+16\mathbf j=8(-\mathbf i+2\mathbf j)$ , a positive multiple of the required direction vector.

(b)

解法一

思路

展开

速度向量相等要求两个分量在同一时刻都相等。先用不含 $\mu$ 的水平分量求时间，再代入竖直分量求 $\mu$ 。

答题过程

展开

Equating the $\mathbf i$ components of the velocities,

\begin{align*} 3-4t=&\,-4-2t,\\ t=&\,\frac72. \end{align*}

At the same time, equating the $\mathbf j$ components gives

\begin{align*} 5+4t=&\,\mu+3t,\\ \mu=&\,5+t=5+\frac72=\boxed{8.5}. \end{align*}

M1 2021 June Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程