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M1 2021 June Q6

A Level / Edexcel / M1

IAL 2021 June Paper · Question 6

题目

Problem

6.

A fixed rough plane is inclined at an angle θ\theta to the horizontal, where tan⁡θ=512\tan\theta=\frac{5}{12}.

A particle of mass 6 kg6\,\mathrm{kg} is projected with speed 5 m s−15\,\mathrm{m\,s^{-1}} from a point AA on the plane, up a line of greatest slope of the plane.

The coefficient of friction between the particle and the plane is 14\frac{1}{4}.

(a) Find the magnitude of the frictional force acting on the particle as it moves up the plane.

(3)

The particle comes to instantaneous rest at the point BB.

(b) Find the distance ABAB.

(5)

The particle now slides down the plane from BB. At the instant when the particle passes through the point CC on the plane, the speed of the particle is again 5 m s−15\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

(c) Find the distance BCBC.

(5)
题目中文翻译

一个固定粗糙斜面与水平面成 θ\theta 角，其中 tan⁡θ=512\tan\theta=\frac{5}{12}。

一个质量为 6 kg6\,\mathrm{kg} 的质点从斜面上的 AA 点，以速率 5 m s−15\,\mathrm{m\,s^{-1}} 沿斜面的最大坡度线向上抛出。

质点与斜面之间的摩擦系数为 14\frac{1}{4}。

(a) 求质点沿斜面向上运动时所受摩擦力的大小。

(3)

质点在 BB 点瞬时静止。

(b) 求距离 ABAB。

(5)

随后质点从 BB 点沿斜面下滑。质点经过斜面上的 CC 点时，速率再次为 5 m s−15\,\mathrm{m\,s^{-1}}。

(c) 求距离 BCBC。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

由 55、1212、1313 直角三角形得到正弦和余弦。垂直斜面没有加速度，先求支持力，再用滑动摩擦力 F=μRF=\mu R。

答题过程

展开

Since tan⁡θ=5/12\tan\theta=5/12,

sin⁡θ=513,cos⁡θ=1213.\sin\theta=\frac5{13},\qquad \cos\theta=\frac{12}{13}.

Resolving perpendicular to the plane,

R=6gcos⁡θ=72g13.R=6g\cos\theta=\frac{72g}{13}.

The particle is sliding, so the frictional force has magnitude

F=μR=14⋅72g13=18g13=13.6 N(3 s.f.).F=\mu R=\frac14\cdot\frac{72g}{13}=\frac{18g}{13} =\boxed{13.6\ \mathrm N}\quad\text{(3 s.f.)}.

Friction acts down the plane during the upward motion.

(b)

解法一

思路

展开

上滑时，重力沿斜面的分量与摩擦力都向下。先求上滑阶段的加速度，再用不含时间的运动公式求停止距离。

答题过程

展开

Taking up the plane as positive, Newton’s second law gives

−F−6gsin⁡θ= 6a,−18g13−30g13= 6a,a= −8g13.\begin{align*} -F-6g\sin\theta=&\,6a,\\ -\frac{18g}{13}-\frac{30g}{13}=&\,6a,\\ a=&\,-\frac{8g}{13}. \end{align*}

Using v2=u2+2asv^2=u^2+2as from AA to BB,

0= 52−2(8g13)AB,AB= 32516g=2.07 m(3 s.f.).\begin{align*} 0=&\,5^2-2\left(\frac{8g}{13}\right)AB,\\ AB=&\,\frac{325}{16g}=\boxed{2.07\ \mathrm m}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

下滑时摩擦力改为向上，重力沿斜面的分量仍向下，因此必须重新列受力方程。此时的加速度大小与上滑阶段不同。

答题过程

展开

During the downward motion friction acts up the plane. Taking down the plane as positive,

6gsin⁡θ−F= 6a′,30g13−18g13= 6a′,a′= 2g13.\begin{align*} 6g\sin\theta-F=&\,6a',\\ \frac{30g}{13}-\frac{18g}{13}=&\,6a',\\ a'=&\,\frac{2g}{13}. \end{align*}

The particle starts from rest at BB and has speed 5 m s−15\ \mathrm{m\,s^{-1}} at CC. Therefore

52= 02+2(2g13)BC,BC= 3254g=8.29 m(3 s.f.).\begin{align*} 5^2=&\,0^2+2\left(\frac{2g}{13}\right)BC,\\ BC=&\,\frac{325}{4g}=\boxed{8.29\ \mathrm m}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}