题目

Problem

A non-uniform rod $AB$ has length $9\,\mathrm{m}$ and mass $M\,\mathrm{kg}$ .

The rod rests in equilibrium in a horizontal position on two supports, one at $C$ where $AC=2.5\,\mathrm{m}$ and the other at $D$ where $DB=2\,\mathrm{m}$ , as shown in Figure 1.

The magnitude of the force acting on the rod at $D$ is twice the magnitude of the force acting on the rod at $C$ .

The centre of mass of the rod is $d$ metres from $A$ .

Find the value of $d$ .

(6)

题目中文翻译

一根非均匀杆 $AB$ 长 $9\,\mathrm{m}$ ，质量为 $M\,\mathrm{kg}$ 。

如图 1 所示，杆水平放置在两个支点上并保持平衡，一个支点位于 $C$ 点，其中 $AC=2.5\,\mathrm{m}$ ；另一个位于 $D$ 点，其中 $DB=2\,\mathrm{m}$ 。

$D$ 点处作用在杆上的力的大小，是 $C$ 点处作用在杆上的力的大小的两倍。

杆的质心距 $A$ 点 $d$ 米。

求 $d$ 的值。

(6)

解答

解法一

思路

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设两个支持力为 $R$ 和 $2R$ 。用竖直平衡把 $R$ 写成重力的倍数，再绕 $A$ 取矩；注意 $AD=7$ 米。

答题过程

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Let the upward reactions at $C$ and $D$ be $R$ and $2R$ respectively. Vertical equilibrium gives

3R=Mg,\qquad R=\frac{Mg}{3}.

Since $AD=9-2=7$ m, taking moments about $A$ gives

\begin{align*} Mgd=&\,2.5R+7(2R),\\ Mgd=&\,16.5\left(\frac{Mg}{3}\right),\\ d=&\,\boxed{5.5}. \end{align*}

Thus the centre of mass is 5.5 m from $A$ .

M1 2021 Oct Q1

题目

解答

解法一

思路

答题过程