一个质量为 $2m$ 的质点 $P$ 在粗糙水平面上运动，与静止在平面上、质量为 $4m$ 的质点 $Q$ 发生正碰。碰撞前一瞬间，$P$ 的速率为 $3u$。碰撞后瞬间，$Q$ 的速率为 $2u$。

(a) 用 $u$ 表示碰撞后瞬间 $P$ 的速率。

(b) 清楚说明碰撞后瞬间 $P$ 的运动方向。

碰撞后，$Q$ 沿平面运动距离 $\frac{6u^2}{g}$ 后静止。

$Q$ 与平面之间的摩擦系数为 $\mu$。

(c) 求 $\mu$ 的值。

以 $P$ 原来的运动方向为正，碰撞瞬间对两粒子用动量守恒。求出的有符号速度可能为负，但速率要取其大小。

Take the initial direction of $P$ as positive, and let its velocity immediately after the collision be $v$.

Conserving momentum over the collision,

The speed of $P$ is therefore $\boxed{u}$.

承接上一问，速度为负说明方向与选定正方向相反。要明确指出它相对于碰撞前的方向已经反向。

Since $v=-u$, $P$ moves in the direction opposite to its original direction of motion. Its direction is reversed by the collision.

碰撞后的滑行过程中，摩擦力是唯一的水平力。用支持力求摩擦力，再求恒定减速度，最后把停止距离代入速度平方公式。

For $Q$, vertical equilibrium gives $R=4mg$. Thus the frictional force is $F=\mu R=4\mu mg$.

Taking the direction of motion of $Q$ as positive, its acceleration is given by

Using $v^2=u_0^2+2as$ for the motion from speed $2u$ to rest,

也可以先用匀减速运动的平均速度求停止时间，再把摩擦力的冲量等于动量变化，直接求摩擦系数。

The normal reaction on $Q$ is $R=4mg$, so friction has magnitude $4\mu mg$.

Let the stopping time be $\tau$. Since the deceleration is constant, the average speed is $(2u+0)/2=u$. Hence

Taking the original direction of $Q$ as positive, impulse equals change in momentum: