题目

Problem

The position vector, $\mathbf{r}$ metres, of a particle $P$ at time $t$ seconds, relative to a fixed origin $O$ , is given by

\mathbf{r}=(t-3)\mathbf{i}+(1-2t)\mathbf{j}

(a) Find, to the nearest degree, the size of the angle between $\mathbf{r}$ and the vector $\mathbf{j}$ , when $t=2$ .

(3)

(b) Find the values of $t$ for which the distance of $P$ from $O$ is $2.5\,\mathrm{m}$ .

(5)

题目中文翻译

在 $t$ 秒时，质点 $P$ 相对于固定原点 $O$ 的位置向量为 $\mathbf{r}$ 米，其中

\mathbf{r}=(t-3)\mathbf{i}+(1-2t)\mathbf{j}

(a) 求 $t=2$ 时 $\mathbf{r}$ 与向量 $\mathbf{j}$ 之间的夹角大小，精确到最接近的整数度。

(3)

(b) 求 $P$ 距 $O$ 为 $2.5\,\mathrm{m}$ 时 $t$ 的各个值。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

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先代入时间求位置向量。它指向左下方，与正 $\mathbf j$ 方向的通常夹角是钝角；先求它与负 $\mathbf j$ 方向的小角再取补角。

答题过程

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At $t=2$ ,

\mathbf r=(2-3)\mathbf i+(1-4)\mathbf j=-\mathbf i-3\mathbf j.

Let $\phi$ be the acute angle between $\mathbf r$ and $-\mathbf j$ . Then

\tan\phi=\frac13,\qquad \phi=18.4349\ldots^\circ.

Thus the angle between $\mathbf r$ and $\mathbf j$ is

180^\circ-\phi=161.565\ldots^\circ=\boxed{162^\circ}

to the nearest degree.

解法二

思路

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用数量积可直接得到与正 $\mathbf j$ 的夹角余弦，自动保留钝角的信息。

答题过程

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At $t=2$ , $\mathbf r=-\mathbf i-3\mathbf j$ , so $|\mathbf r|=\sqrt{10}$ and $\mathbf r\cdot\mathbf j=-3$ .

If the angle between the vectors is $\theta$ ,

\cos\theta=\frac{\mathbf r\cdot\mathbf j}{|\mathbf r||\mathbf j|}=-\frac3{\sqrt{10}}.

Therefore $\theta=161.565\ldots^\circ$ , giving $\boxed{162^\circ}$ to the nearest degree.

(b)

解法一

思路

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距离是位置向量的模。把模等于 $2.5$ 的方程两边平方，再完整解出两个时间并检查它们都非负。

答题过程

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The distance from $O$ is

|\mathbf r|=\sqrt{(t-3)^2+(1-2t)^2}.

Setting this equal to $2.5$ gives

\begin{align*} (t-3)^2+(1-2t)^2=&\,\frac{25}{4},\\ 5t^2-10t+10=&\,\frac{25}{4},\\ 4t^2-8t+3=&\,0,\\ (2t-1)(2t-3)=&\,0. \end{align*}

Both roots are non-negative, so the required times are

\boxed{t=\frac12\ \mathrm s\text{ or }\frac32\ \mathrm s}.

M1 2021 Oct Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程