一根轻且不可伸长的细绳，一端连接质量为 $2m$ 的质点 $A$，另一端连接质量为 $3m$ 的质点 $B$。细绳绕过固定在粗糙斜面顶端的光滑轻质小滑轮 $P$。斜面与水平面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\frac{3}{4}$。

如图 4 所示，质点 $A$ 被保持静止在斜面上，细绳绷紧，$B$ 自由悬挂在 $P$ 下方。绳段 $AP$ 平行于斜面的一条最大坡度线。

$A$ 与斜面之间的摩擦系数为 $\frac{1}{2}$。

释放质点 $A$，它开始沿斜面向上运动。

针对 $A$ 到达滑轮之前的运动，

(a) (i) 写出 $A$ 的一个运动方程，

(ii) 写出 $B$ 的一个运动方程，

(b) 用 $g$ 表示 $A$ 的加速度，

(c) 求细绳对滑轮施加的力的大小。

(d) 说明如何使用了“$P$ 是光滑滑轮”这一条件。

绳子不可伸长且绷紧，两个粒子的加速度大小相同。对 $A$ 沿斜面向上取正，摩擦力与重力分量都向下。

Let $a$ be the common magnitude of acceleration, $T$ the tension and $F$ the frictional force on $A$.

Resolving up the plane for $A$,

$B$ 随 $A$ 上滑而向下运动，对它向下取正。重力向下，张力向上。

Taking downwards as positive for $B$, Newton’s second law gives

先由垂直斜面方向求支持力，再求滑动摩擦力。把两个运动方程相加消去张力，得到整个系统的加速度。

Since $\tan\alpha=3/4$, $\sin\alpha=3/5$ and $\cos\alpha=4/5$.

For $A$, resolving perpendicular to the plane gives

Thus

Adding the equations from (a),

The acceleration of $A$ is $g/5$ up the plane.

先由 $B$ 的运动方程求张力。滑轮同时受到两段绳子的拉力，方向分别沿斜面向下和竖直向下，要求的是两力的向量合力，不能直接相加大小。

From the equation for $B$,

The string pulls the pulley down the plane with force $T$, and vertically downwards with force $T$.

The horizontal component of their resultant has magnitude $T\cos\alpha$, and the downward vertical component is $T+T\sin\alpha$. Therefore the resultant magnitude is

两个张力大小相等，合力沿两力夹角的角平分线。把每个力投影到角平分线上，可直接得到合力大小。

The tension is

The angle between the downward vertical string and the string directed down the plane is $90^\circ-\alpha$. Equal tensions have a resultant along the bisector, of magnitude

Using the half-angle identity,

The half-angle is acute, so its cosine is $2/\sqrt5$. Hence

光滑条件用于张力：绳子跨过滑轮时没有摩擦，所以滑轮两侧张力相同。

The tension is the same on either side of the smooth pulley.