题目

Problem

A particle $P$ has mass $km$ and a particle $Q$ has mass $m$ . The particles are moving towards each other in opposite directions along the same straight line when they collide directly.

Immediately before the collision, $P$ has speed $3u$ and $Q$ has speed $u$ .

As a result of the collision, the direction of motion of each particle is reversed and the speed of each particle is halved.

(a) Find the value of $k$ .

(4)

(b) Find, in terms of $m$ and $u$ , the magnitude of the impulse exerted on $Q$ in the collision.

(3)

题目中文翻译

质点 $P$ 的质量为 $km$ ，质点 $Q$ 的质量为 $m$ 。它们沿同一直线相向运动，并发生正碰。

碰撞前一瞬间， $P$ 的速率为 $3u$ ， $Q$ 的速率为 $u$ 。

碰撞使两个质点的运动方向均反转，且各自的速率均减半。

(a) 求 $k$ 的值。

(4)

(b) 用 $m$ 和 $u$ 表示碰撞过程中 $Q$ 所受冲量的大小。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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统一正方向后，将“反向且速率减半”分别转成带符号的速度，再用动量守恒。

答题过程

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Take the initial direction of $P$ as positive. Before the collision the velocities of $P$ and $Q$ are $3u$ and $-u$ ; afterwards they are $-3u/2$ and $u/2$ respectively.

Conservation of momentum gives

\begin{align*} km(3u)+m(-u)=&\,km\left(-\frac{3u}{2}\right)+m\left(\frac u2\right),\\ 3k-1=&\,-\frac{3k}{2}+\frac12,\\ 6k-2=&\,-3k+1,\\ k=&\,\boxed{\frac13}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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冲量等于 $Q$ 的动量变化。因为 $Q$ 反向，速度变化不是两个速率之差。

答题过程

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Using the same positive direction as in (a), the impulse on $Q$ is

I_Q=m\left(\frac u2-(-u)\right)=\frac32mu.

Its magnitude is $\boxed{\dfrac32mu}$ .

解法二

思路

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也可由 $P$ 的动量变化求其所受冲量，再用相互作用冲量等大反向，得到 $Q$ 的冲量大小。

答题过程

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The mass of $P$ is $km=m/3$ . Its change in momentum is

I_P=\frac m3\left(-\frac{3u}{2}-3u\right)=-\frac32mu.

The impulses on $P$ and $Q$ are equal and opposite. Therefore the magnitude of the impulse on $Q$ is $\boxed{\dfrac32mu}$ .

M1 2022 Jan Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程