一根梁 $ADCB$ 长 $5\,\mathrm{m}$，放在一个水平台阶上，$A$ 端位于台阶上，$B$ 端伸出台阶边缘。如图 2 所示，台阶边缘位于 $D$ 点，其中 $DB=1.3\,\mathrm{m}$。

当一个质量为 $30\,\mathrm{kg}$ 的小男孩站在梁上的 $C$ 点时，梁恰好要倾斜，其中 $CB=0.5\,\mathrm{m}$。

将男孩视为质点，将梁视为均匀杆。

(a) 求梁的质量。

现将一个质量为 $X\,\mathrm{kg}$ 的物块放在梁的 $A$ 点。

将物块视为质点。

(b) 求使男孩能够站在梁的 $B$ 点而梁不倾斜的 $X$ 的最小值。

(c) 说明在计算中如何使用了“将物块视为质点”这一建模假设。

临界倾覆时梁绕台阶边缘 $D$ 转动，支持力作用于 $D$。均匀梁的重力作用在中点，先求各重力到 $D$ 的力臂。

Let the mass of the beam be $m_b$ kg and its midpoint be $G$.

Since $AD=5-1.3=3.7$ m and $AG=2.5$ m,

At the point of tilting, taking moments about $D$ gives

Hence $m_b=30(0.8)/1.2=\boxed{20\ \mathrm{kg}}$.

不倾覆要求左侧的稳定力矩至少等于男孩在右侧的倾覆力矩。最小质量对应等号，即再次处于临界倾覆状态。

With the boy at $B$, the condition for no tilting about $D$ is

Thus

The smallest value is $\boxed{X=\dfrac{150}{37}}\approx4.05$.

质点模型忽略物块的大小，把全部质量集中在一个位置，因此它的重力力臂按 $A$ 点计算。

The mass of the block is treated as concentrated at the single point $A$, so its weight acts at $A$.