一个质量为 $m$ 的质点在大小为 $X$ 的力作用下，静止平衡于固定粗糙斜面上。如图 3 所示，该力沿斜面的一条最大坡度线向上作用。

斜面与水平面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\frac{3}{4}$。

质点与斜面之间的摩擦系数为 $\mu$。

• 当 $X=2P$ 时，质点恰好要沿斜面向上滑动。
• 当 $X=P$ 时，质点恰好要沿斜面向下滑动。

求 $\mu$ 的值。

两个临界状态的支持力相同，极限摩擦力大小也相同，但方向相反。分别沿斜面列平衡方程，先消去 $P$ 求摩擦力，再除以支持力。

From $\tan\alpha=3/4$, $\sin\alpha=3/5$ and $\cos\alpha=4/5$.

Resolving perpendicular to the plane,

Let $F=\mu R$ be the magnitude of limiting friction. When $X=2P$, impending motion is up the plane, so friction acts down the plane:

When $X=P$, impending motion is down the plane, so friction acts up the plane:

Subtracting twice (2) from (1),

Therefore

也可在两个临界状态中都沿水平方向分解，利用同一支持力和相反的摩擦力方向。两式相加、相减后相除，可同时消去外力大小和支持力。

Let $F=\mu R$ be the magnitude of limiting friction. For impending upward motion with $X=2P$, horizontal equilibrium gives

For impending downward motion with $X=P$, horizontal equilibrium gives

Adding and subtracting the equations,

Dividing the second equation by the first gives

Consequently $\boxed{\mu=\dfrac{\tan\alpha}{3}=\dfrac14}$.