[本题中，$\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分别为指向正东和正北的水平单位向量，位置向量均相对于固定原点给出。]

船 $A$ 以恒定速度 $(3\mathbf{i}-10\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ 航行。

在 $t$ 小时时，$A$ 的位置向量为 $\mathbf{r}\,\mathrm{km}$。

在 $t=0$ 时，$A$ 的位置向量为 $(13\mathbf{i}+5\mathbf{j})\,\mathrm{km}$。

(a) 用 $t$ 表示 $\mathbf{r}$。

另一艘船 $B$ 以恒定速度 $(15\mathbf{i}+14\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ 航行。

在 $t=0$ 时，$B$ 的位置向量为 $(3\mathbf{i}-5\mathbf{j})\,\mathrm{km}$。

(b) 证明在 $t$ 小时时，

已知两船均不改变航向，

(c) 求两船之间的最短距离，

(d) 求两船距离最近时，船 $B$ 相对于船 $A$ 的方位角。

船 $A$ 匀速航行，位置等于初始位置向量加上速度向量乘以时间。

Using initial position plus velocity multiplied by time,

先写船 $B$ 的位置，再用终点位置减起点位置得到从 $A$ 指向 $B$ 的向量。证明题应展示两个分量的相减。

The position vector of $B$ is

Hence

as required.

距离的平方与距离在同一时刻达到最小。把距离平方配方，利用平方项非负，既可得到最小值，也可直接证明这是全局最小值。

Let $D$ be the distance between the ships in kilometres. Then

Since the square is non-negative, $D^2\geq20$, with equality at $t=1/2$ h. This time is within $t\geq0$.

Therefore the shortest distance is $\boxed{\sqrt{20}\ \mathrm{km}=2\sqrt5\ \mathrm{km}}$.

微分距离平方，求驻点并用二阶导数证明是最小值，再代回求距离而不是距离平方。

The squared distance is

Differentiating,

Thus the global minimum occurs at $t=1/2$ h, which is non-negative. At this time

The minimum distance is therefore

也可把达到某个距离的条件看成关于时间的二次方程。时间有实数解要求判别式非负，由此得到距离下界，并检查等号对应的时间非负。

If the ships are a distance $D$ kilometres apart, then

For a real time $t$, the discriminant must be non-negative:

Equality gives the repeated root $t=720/(2\cdot720)=1/2$ h, so this bound is attained at a non-negative time.

Hence the shortest distance is $\boxed{\sqrt{20}\ \mathrm{km}}$.

最近时从 $A$ 指向 $B$ 的向量为西 $4$、北 $2$，所以 $B$ 在西北方向。方位角从正北顺时针量起，不能直接把反正切值作为方位角。

At $t=1/2$ h,

Thus $B$ is 4 km west and 2 km north of $A$. If $\theta$ is the angle west of north,

The clockwise bearing from north is

to the nearest degree.