题目

Problem

A uniform rod $AB$ has length $5\,\mathrm{m}$ and mass $5\,\mathrm{kg}$ . The rod rests in equilibrium in a horizontal position on two supports $C$ and $D$ , where $AC=1\,\mathrm{m}$ and $DB=2\,\mathrm{m}$ , as shown in Figure 2.

A particle of mass $10\,\mathrm{kg}$ is placed on the rod at $A$ and a particle of mass $M\,\mathrm{kg}$ is placed on the rod at $B$ . The rod remains horizontal and in equilibrium.

(a) Find, in terms of $M$ , the magnitude of the reaction on the rod at $C$ .

(3)

(b) Find, in terms of $M$ , the magnitude of the reaction on the rod at $D$ .

(3)

题目中文翻译

一根均匀杆 $AB$ 长 $5\,\mathrm{m}$ ，质量为 $5\,\mathrm{kg}$ 。如图 2 所示，杆水平放置在支点 $C$ 和 $D$ 上并保持平衡，其中 $AC=1\,\mathrm{m}$ ， $DB=2\,\mathrm{m}$ 。

在杆的 $A$ 点放置一个质量为 $10\,\mathrm{kg}$ 的质点，在 $B$ 点放置一个质量为 $M\,\mathrm{kg}$ 的质点。杆仍保持水平且处于平衡状态。

(a) 用 $M$ 表示杆在 $C$ 点所受反作用力的大小。

(3)

(b) 用 $M$ 表示杆在 $D$ 点所受反作用力的大小。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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均匀杆的重心在距 $A$ 为 $2.5$ 米处。绕 $D$ 取矩可消去 $D$ 的支持力，再按各力臂求 $C$ 的反作用力。

答题过程

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Let the reactions at $C$ and $D$ be $R_C$ and $R_D$ . The rod’s weight $5g$ acts at its midpoint $G$ , 2.5 m from $A$ .

Since $AD=3$ m, $CD=2$ m and $DG=0.5$ m, taking moments about $D$ gives

\begin{align*} 2R_C+2Mg=&\,3(10g)+0.5(5g),\\ 2R_C=&\,32.5g-2Mg,\\ R_C=&\,\boxed{(16.25-M)g\ \mathrm N}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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绕 $C$ 取矩可以直接消去已求出的支持力，也可避免把上一问的结果代错。注意 $CB=4$ 米， $CG=1.5$ 米。

答题过程

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Taking moments about $C$ ,

\begin{align*} 2R_D+1(10g)=&\,1.5(5g)+4Mg,\\ 2R_D=&\,4Mg-2.5g,\\ R_D=&\,\boxed{(2M-1.25)g\ \mathrm N}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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普通支点只能向上推杆，不能向下拉杆，因此两个反作用力都必须非负。联立两个条件，端点对应恰好要倾覆。

答题过程

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For equilibrium on the supports, both reactions must be non-negative:

\begin{align*} (16.25-M)g\geq&\,0\quad\Longrightarrow\quad M\leq16.25,\\ (2M-1.25)g\geq&\,0\quad\Longrightarrow\quad M\geq0.625. \end{align*}

Hence $\boxed{0.625\leq M\leq16.25}$ .

M1 2022 June Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程