题目

Problem

A particle $P$ is moving with constant acceleration.

At time $t=1$ second, $P$ has velocity $(-\mathbf{i}+4\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

At time $t=4$ seconds, $P$ has velocity $(5\mathbf{i}-8\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Find the speed of $P$ at time $t=3.5$ seconds.

(6)

题目中文翻译

一个质点 $P$ 做匀加速运动。

在 $t=1$ 秒时， $P$ 的速度为 $(-\mathbf{i}+4\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

在 $t=4$ 秒时， $P$ 的速度为 $(5\mathbf{i}-8\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

求 $t=3.5$ 秒时 $P$ 的速率。

(6)

解答

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速度变化应除以两个已知时刻的时间差 $3$ 秒。求出加速度后，从 $t=1$ 推进 $2.5$ 秒到目标时刻，最后取速度向量的模。

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The constant acceleration is

\begin{align*} \mathbf a=&\,\frac{(5\mathbf i-8\mathbf j)-(-\mathbf i+4\mathbf j)}{4-1},\\ =&\,(2\mathbf i-4\mathbf j)\ \mathrm{m\,s^{-2}}. \end{align*}

From $t=1$ to $t=3.5$ , the elapsed time is 2.5 s. Therefore

\begin{align*} \mathbf v(3.5)=&\,(-\mathbf i+4\mathbf j)+2.5(2\mathbf i-4\mathbf j),\\ =&\,(4\mathbf i-6\mathbf j)\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \end{align*}

The speed is

|\mathbf v|=\sqrt{4^2+(-6)^2}=\boxed{\sqrt{52}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\approx7.21\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

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恒定加速度使速度向量随时间线性变化，因此可直接按时间比例在两个已知速度间插值，不必先计算加速度。

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Let $\mathbf v$ be the velocity at $t=3.5$ . Equal accelerations over the two intervals give

\frac{\mathbf v-(-\mathbf i+4\mathbf j)}{3.5-1} =\frac{(5\mathbf i-8\mathbf j)-\mathbf v}{4-3.5}.

Thus

\begin{align*} 0.5\bigl[\mathbf v-(-\mathbf i+4\mathbf j)\bigr]=&\,2.5\bigl[(5\mathbf i-8\mathbf j)-\mathbf v\bigr],\\ 3\mathbf v=&\,0.5(-\mathbf i+4\mathbf j)+2.5(5\mathbf i-8\mathbf j),\\ 3\mathbf v=&\,12\mathbf i-18\mathbf j,\\ \mathbf v=&\,4\mathbf i-6\mathbf j. \end{align*}

Hence the speed is $\boxed{\sqrt{52}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}$ .