题目

Problem

[In this question, $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are horizontal unit vectors directed due east and due north respectively and position vectors are given relative to a fixed origin $O$ .]

Two boats, $P$ and $Q$ , are moving with constant velocities.

The velocity of $P$ is $15\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ and the velocity of $Q$ is $(20\mathbf{i}-20\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

(a) Find the direction in which $Q$ is travelling, giving your answer as a bearing.

(2)

The boats are modelled as particles.

At time $t=0$ , $P$ is at the origin $O$ and $Q$ is at the point with position vector $200\mathbf{j}\,\mathrm{m}$ .

At time $t$ seconds, the position vector of $P$ is $\mathbf{p}\,\mathrm{m}$ and the position vector of $Q$ is $\mathbf{q}\,\mathrm{m}$ .

(b) Show that

\overrightarrow{PQ}=\big[5t\mathbf{i}+(200-20t)\mathbf{j}\big]\,\mathrm{m}

(5)

(2)

(d) Find the distance between $P$ and $Q$ when $Q$ is north east of $P$ .

(5)

(e) Find the times when $P$ and $Q$ are $200\,\mathrm{m}$ apart.

(3)

题目中文翻译

[本题中， $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分别为指向正东和正北的水平单位向量，位置向量均相对于固定原点 $O$ 给出。]

两艘船 $P$ 和 $Q$ 均以恒定速度航行。

$P$ 的速度为 $15\mathbf{i}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ， $Q$ 的速度为 $(20\mathbf{i}-20\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

(a) 求 $Q$ 的航行方向，以方位角表示。

(2)

将两艘船视为质点。

在 $t=0$ 时， $P$ 位于原点 $O$ ， $Q$ 的位置向量为 $200\mathbf{j}\,\mathrm{m}$ 。

在 $t$ 秒时， $P$ 的位置向量为 $\mathbf{p}\,\mathrm{m}$ ， $Q$ 的位置向量为 $\mathbf{q}\,\mathrm{m}$ 。

(b) 证明

\overrightarrow{PQ}=\big[5t\mathbf{i}+(200-20t)\mathbf{j}\big]\,\mathrm{m}

(5)

(2)

(d) 求 $Q$ 位于 $P$ 的东北方向时，两船之间的距离。

(5)

(e) 求 $P$ 与 $Q$ 相距 $200\,\mathrm{m}$ 的各个时刻。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

航行方向由速度向量决定。 $Q$ 向东和向南的分量大小相等，所以朝东南方向，以正北为起点顺时针量方位角。

答题过程

展开

The velocity of $Q$ is $20\mathbf i-20\mathbf j$ , with equal eastward and southward components. It therefore makes an angle of $45^\circ$ south of east.

The bearing is $\boxed{90^\circ+45^\circ=135^\circ}$ .

(b)

解法一

思路

展开

分别写两船的位置向量，再用 $Q$ 的位置减去 $P$ 的位置。不能把两船位置设成相等，因为本问没有要求相遇。

答题过程

展开

Since both velocities are constant,

\mathbf p=15t\mathbf i,\qquad \mathbf q=200\mathbf j+t(20\mathbf i-20\mathbf j).

Thus

\begin{align*} \overrightarrow{PQ}=&\,\mathbf q-\mathbf p,\\ =&\,200\mathbf j+t(20\mathbf i-20\mathbf j)-15t\mathbf i,\\ =&\,\bigl[5t\mathbf i+(200-20t)\mathbf j\bigr]\ \mathrm m, \end{align*}

as required.

(c)

解法一

思路

展开

注意本问是从 $Q$ 看 $P$ ，所以要用 $\overrightarrow{QP}$ ，与上一问的向量相反。

答题过程

展开

At $t=10$ ,

\overrightarrow{PQ}=50\mathbf i+(200-200)\mathbf j=50\mathbf i\ \mathrm m.

Hence $\overrightarrow{QP}=-50\mathbf i$ m: $P$ is due west of $Q$ .

The required bearing is $\boxed{270^\circ}$ .

(d)

解法一

思路

展开

东北方向要求相对位置的东、北分量相等且都为正。先求时间，再计算相对位置向量的模。

答题过程

展开

For $Q$ to be north east of $P$ ,

5t=200-20t,\qquad t=8\ \mathrm s.

At this time,

\overrightarrow{PQ}=40\mathbf i+40\mathbf j\ \mathrm m,

whose components are both positive. The distance is therefore

\boxed{\sqrt{40^2+40^2}=40\sqrt2\ \mathrm m}.

(e)

解法一

思路

展开

把相对位置向量的模设为 $200$ ，平方后保留公共因子 $t$ ，不要直接除以 $t$ 丢掉初始时刻。

答题过程

展开

The distance condition is

\begin{align*} (5t)^2+(200-20t)^2=&\,200^2,\\ 25t^2+40000-8000t+400t^2=&\,40000,\\ 425t^2-8000t=&\,0,\\ 25t(17t-320)=&\,0. \end{align*}

Both times are non-negative, so

\boxed{t=0\ \mathrm s\text{ or }t=\frac{320}{17}\ \mathrm s}\quad(\approx18.8\ \mathrm s).

M1 2022 June Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程

(e)

解法一

思路

答题过程