题目

Problem

A uniform rod $AB$ has length $2a$ and mass $M$ . The rod is held in equilibrium in a horizontal position by two vertical light strings which are attached to the rod at $C$ and $D$ , where $AC=\frac{2}{5}a$ and $DB=\frac{3}{5}a$ , as shown in Figure 1.

A particle $P$ is placed on the rod at $B$ .

The rod remains horizontal and in equilibrium.

(a) Find, in terms of $M$ , the largest possible mass of the particle $P$ .

(3)

Given that the mass of $P$ is $\frac{1}{2}M$ ,

(b) find, in terms of $M$ and $g$ , the tension in the string that is attached to the rod at $C$ .

(3)

题目中文翻译

一根均匀杆 $AB$ 长 $2a$ ，质量为 $M$ 。如图 1 所示，两根竖直轻绳分别连接在杆上的 $C$ 点和 $D$ 点，使杆保持水平平衡，其中 $AC=\frac{2}{5}a$ ， $DB=\frac{3}{5}a$ 。

在杆的 $B$ 点放置一个质点 $P$ 。

杆仍保持水平且处于平衡状态。

(a) 用 $M$ 表示质点 $P$ 的最大可能质量。

(3)

已知 $P$ 的质量为 $\frac{1}{2}M$ ，

(b) 用 $M$ 和 $g$ 表示连接在 $C$ 点的绳中的张力。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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增加 $B$ 端质量会使 $C$ 处绳子的张力减小。最大质量对应 $C$ 处张力恰好为零，此时绕 $D$ 取矩求临界质量。

答题过程

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Let $G$ be the midpoint of the rod and let the mass at $B$ be $X$ . The relevant distances are

DG=\frac{2a}{5},\qquad DB=\frac{3a}{5},\qquad CD=a.

If the tension at $C$ is $T_C$ , taking moments about $D$ gives

T_Ca+Xg\left(\frac{3a}{5}\right)=Mg\left(\frac{2a}{5}\right).

Since $T_C\geq0$ , it follows that $X\leq2M/3$ . At the largest possible mass, $T_C=0$ , so

\boxed{X_{\max}=\frac{2M}{3}}.

(b)

解法一

思路

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这一问的粒子质量已改为 $M/2$ ，不能继续使用上一问的临界质量。仍绕 $D$ 取矩，可直接求 $C$ 处张力。

答题过程

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With the particle mass equal to $M/2$ , take moments about $D$ :

\begin{align*} T_Ca+\frac12Mg\left(\frac{3a}{5}\right)=&\,Mg\left(\frac{2a}{5}\right),\\ T_Ca=&\,\frac{Mga}{10},\\ T_C=&\,\boxed{\frac{Mg}{10}}. \end{align*}

M1 2022 Oct Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程