题目

Problem

[In this question, $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are horizontal unit vectors.]

A particle $A$ of mass $0.5\,\mathrm{kg}$ is at rest on a smooth horizontal plane.

At time $t=0$ , two forces, $\mathbf{F}_1=(-3\mathbf{i}+2\mathbf{j})\,\mathrm{N}$ and $\mathbf{F}_2=(p\mathbf{i}+q\mathbf{j})\,\mathrm{N}$ , where $p$ and $q$ are constants, are applied to $A$ .

Given that $A$ moves in the direction of the vector $(\mathbf{i}-2\mathbf{j})$ ,

(a) show that $2p+q-4=0$ .

(4)

Given that $p=5$ ,

(b) find the speed of $A$ at time $t=4$ seconds.

(5)

题目中文翻译

[本题中， $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 为水平单位向量。]

一个质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $A$ 静止在光滑水平面上。

在 $t=0$ 时，对 $A$ 施加两个力 $\mathbf{F}_1=(-3\mathbf{i}+2\mathbf{j})\,\mathrm{N}$ 和 $\mathbf{F}_2=(p\mathbf{i}+q\mathbf{j})\,\mathrm{N}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 为常数。

已知 $A$ 沿向量 $(\mathbf{i}-2\mathbf{j})$ 的方向运动，

(a) 证明 $2p+q-4=0$ 。

(4)

已知 $p=5$ ，

(b) 求 $t=4$ 秒时 $A$ 的速率。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

质点从静止开始，在恒定合力下沿加速度方向运动，因此合力与给定方向向量平行同向。分量之间是比例关系，不能直接把合力分量设成 $1$ 和 $-2$ 。

答题过程

展开

The resultant force is

\mathbf F=(-3\mathbf i+2\mathbf j)+(p\mathbf i+q\mathbf j) =(p-3)\mathbf i+(q+2)\mathbf j.

Since the particle starts from rest and the forces are constant, its acceleration and resultant force have the same direction as its motion.

Thus, for some positive scalar $\lambda$ ,

p-3=\lambda,\qquad q+2=-2\lambda.

Eliminating $\lambda$ ,

q+2=-2(p-3),\qquad \boxed{2p+q-4=0},

as required.

(b)

解法一

思路

展开

先用上一问求另一力的分量，再求合力、加速度与四秒后的速度。最后求速度向量的模，而不是把分量相加。

答题过程

展开

With $p=5$ , the equation from (a) gives $q=4-2(5)=-6$ . Hence the resultant force is

\mathbf F=2\mathbf i-4\mathbf j\ \mathrm N.

Using Newton’s second law,

\mathbf a=\frac{\mathbf F}{0.5}=4\mathbf i-8\mathbf j\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Starting from rest, the velocity at $t=4$ is

\mathbf v=4\mathbf a=16\mathbf i-32\mathbf j\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Therefore the speed is

|\mathbf v|=\sqrt{16^2+(-32)^2}=\boxed{16\sqrt5\ \mathrm{m\,s^{-1}}}.

M1 2022 Oct Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程