一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根轻且不可伸长的细绳的一端。另一个质量同样为 $m$ 的质点 $Q$ 连接在绳的另一端。细绳绕过固定在粗糙水平桌面边缘的光滑小滑轮。如图 4 所示，质点 $Q$ 被保持静止在桌面上，质点 $P$ 竖直悬挂在滑轮下方，细绳绷紧。

滑轮、$P$ 和 $Q$ 均位于同一竖直平面内。

$Q$ 与桌面之间的摩擦系数为 $\mu$，其中 $\mu<1$。

质点 $Q$ 从静止释放。

在 $Q$ 碰到滑轮之前，绳中的张力为 $kmg$，其中 $k$ 为常数。

(a) 用 $\mu$ 表示 $k$。

已知 $Q$ 起初距滑轮的距离为 $d$，

(b) 用 $d$、$g$ 和 $\mu$ 表示 $Q$ 从释放到到达滑轮所需的时间。

(c) 描述若 $\mu\geq 1$ 会发生什么情况，并说明理由。

$\mu<1$ 时，悬挂重力足以克服桌面最大摩擦力，$P$ 下落、$Q$ 向滑轮运动。分别列方程并消去共同加速度，求张力系数。

For $Q$, vertical equilibrium gives $R=mg$. During motion, friction acts away from the pulley and has magnitude $F=\mu mg$.

Let the common acceleration magnitude be $a$. Taking downwards as positive for $P$ and towards the pulley as positive for $Q$,

Equating the right-hand sides and cancelling $mg$ gives

由悬挂粒子的方程与上一问的张力系数求加速度。系统从静止出发，$Q$ 的位移为 $d$，用匀加速位移公式求正的时间。

Using the equation for $P$ and the value of $k$ from (a),

Starting from rest, $Q$ travels distance $d$ in time $t$, so

The positive root is taken, and $1-\mu>0$ by the given condition.

这时不能继续把运动阶段的摩擦力公式当作实际摩擦力。静止状态只需要摩擦力平衡张力；若最大静摩擦力足够大，系统保持静止。

The system would remain at rest.

For $P$ to remain at rest, the tension is $T=mg$. For $Q$, the maximum available static friction is

Static friction can therefore balance the tension on $Q$, so neither particle starts to move.