题目

Problem

A particle $P$ is moving with constant acceleration $(-4\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

At time $t=0$ , $P$ has velocity $(14\mathbf{i}-5\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

(a) Find the speed of $P$ at time $t=2$ seconds.

(3)

(b) Find the size of the angle between the direction of $\mathbf{i}$ and the direction of motion of $P$ at time $t=2$ seconds.

(3)

At time $t=T$ seconds, $P$ is moving in the direction of vector $(2\mathbf{i}-3\mathbf{j})$ .

(4)

题目中文翻译

一个质点 $P$ 以恒定加速度 $(-4\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 运动。

在 $t=0$ 时， $P$ 的速度为 $(14\mathbf{i}-5\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

(a) 求 $t=2$ 秒时 $P$ 的速率。

(3)

(b) 求 $t=2$ 秒时， $\mathbf{i}$ 的方向与 $P$ 的运动方向之间的夹角大小。

(3)

在 $t=T$ 秒时， $P$ 沿向量 $(2\mathbf{i}-3\mathbf{j})$ 的方向运动。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

先用向量形式的速度公式代入 $t=2$ ，再对所得向量取模。

答题过程

展开

At $t=2$ ,

\begin{align*} \mathbf v=&\,(14\mathbf i-5\mathbf j)+2(-4\mathbf i+\mathbf j),\\ =&\,6\mathbf i-3\mathbf j\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \end{align*}

Hence the speed is

\boxed{|\mathbf v|=\sqrt{6^2+(-3)^2}=3\sqrt5\ \mathrm{m\,s^{-1}}}.

(b)

解法一

思路

展开

速度向右下方，和正 $\mathbf i$ 方向之间的通常夹角是锐角。用垂直分量大小除以水平分量求正切。

答题过程

展开

At $t=2$ , $\mathbf v=6\mathbf i-3\mathbf j$ . Let $\theta$ be the smaller angle with $\mathbf i$ . Then

\tan\theta=\frac36,\qquad \boxed{\theta=26.6^\circ}\quad\text{(3 s.f.)}.

(c)

解法一

思路

展开

时间仍从题目的 $t=0$ 开始。写速度向量，再用与目标方向成正比例的条件求 $T$ 并核对方向。

答题过程

展开

At $t=T$ ,

\mathbf v=(14-4T)\mathbf i+(-5+T)\mathbf j.

For this velocity to have the direction $2\mathbf i-3\mathbf j$ ,

\begin{align*} \frac{14-4T}{2}=&\,\frac{-5+T}{-3},\\ -3(14-4T)=&\,2(-5+T),\\ 10T=&\,32,\\ T=&\,\boxed{3.2}. \end{align*}

At this time $\mathbf v=1.2\mathbf i-1.8\mathbf j=0.6(2\mathbf i-3\mathbf j)$ , a positive multiple of the required vector.

M1 2023 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程