题目

Problem

[In this question $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are horizontal perpendicular unit vectors.]

A particle $P$ rests in equilibrium on a smooth horizontal plane.

A system of three forces, $\mathbf{F}_1\,\mathrm{N}$ , $\mathbf{F}_2\,\mathrm{N}$ and $\mathbf{F}_3\,\mathrm{N}$ where

\mathbf{F}_1=(3c\mathbf{i}+4c\mathbf{j})

\mathbf{F}_2=(-14\mathbf{i}+7\mathbf{j})

is applied to $P$ .

Given that $P$ remains in equilibrium,

(a) find $\mathbf{F}_3$ in terms of $c$ , $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ .

(2)

The force $\mathbf{F}_3$ is removed from the system.

Given that $c=2$ ,

(b) find the size of the angle between the direction of $\mathbf{i}$ and the direction of the resultant force acting on $P$ .

(4)

The mass of $P$ is $m\,\mathrm{kg}$ .

Given that the magnitude of the acceleration of $P$ is $8.5\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ,

(4)

题目中文翻译

[本题中， $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 为水平且互相垂直的单位向量。]

质点 $P$ 静止平衡于光滑水平面上。

对 $P$ 施加三个力 $\mathbf{F}_1\,\mathrm{N}$ 、 $\mathbf{F}_2\,\mathrm{N}$ 和 $\mathbf{F}_3\,\mathrm{N}$ ，其中

\mathbf{F}_1=(3c\mathbf{i}+4c\mathbf{j})

\mathbf{F}_2=(-14\mathbf{i}+7\mathbf{j})

已知 $P$ 仍保持平衡，

(a) 用 $c$ 、 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示 $\mathbf{F}_3$ 。

(2)

从系统中移去力 $\mathbf{F}_3$ 。

已知 $c=2$ ，

(b) 求 $\mathbf{i}$ 的方向与作用在 $P$ 上的合力方向之间的夹角大小。

(4)

$P$ 的质量为 $m\,\mathrm{kg}$ 。

已知 $P$ 的加速度大小为 $8.5\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ，

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

平衡时三个力的向量和为零，所以第三个力应等于前两个力合力的相反向量。

答题过程

展开

For equilibrium,

\mathbf F_1+\mathbf F_2+\mathbf F_3=\mathbf0.

Hence

\begin{align*} \mathbf F_3=&\,-\bigl[(3c-14)\mathbf i+(4c+7)\mathbf j\bigr],\\ =&\,\boxed{(14-3c)\mathbf i-(7+4c)\mathbf j}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

移去第三个力后，合力为前两个力之和。合力向左上方，与正 $\mathbf i$ 方向的通常夹角是钝角；先求与负 $\mathbf i$ 的锐角再取补角。

答题过程

展开

With $c=2$ , the resultant force is

\mathbf F=(6\mathbf i+8\mathbf j)+(-14\mathbf i+7\mathbf j) =-8\mathbf i+15\mathbf j\ \mathrm N.

Let $\phi$ be the acute angle with $-\mathbf i$ . Then

\tan\phi=\frac{15}{8},\qquad \phi=61.9275\ldots^\circ.

The angle with $\mathbf i$ is

180^\circ-\phi=118.0724\ldots^\circ=\boxed{118^\circ}\quad\text{(3 s.f.)}.

(c)

解法一

思路

展开

加速度给的是大小，先求合力向量的模，再用合力大小等于质量乘加速度大小。

答题过程

展开

The magnitude of the resultant force is

|\mathbf F|=\sqrt{(-8)^2+15^2}=17\ \mathrm N.

Using Newton’s second law in magnitudes,

17=8.5m,\qquad \boxed{m=2}.

Thus the particle has mass 2 kg.

M1 2023 June Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程