图 1 显示一根质量为 $m\,\mathrm{kg}$、长 $2\,\mathrm{m}$ 的梁 $AB$，由两根竖直轻绳悬挂。

绳连接在梁上的 $C$、$D$ 两点，其中 $AC=0.6\,\mathrm{m}$，$DB=0.2\,\mathrm{m}$。

梁水平平衡。

在梁的 $A$ 点连接一个质量为 $pm\,\mathrm{kg}$ 的质点，梁仍保持水平平衡。

将梁视为均匀杆。

(a) 已知连接在 $C$ 点的绳中张力是连接在 $D$ 点的绳中张力的四倍，利用该模型求 $p$ 的精确值。

移去 $A$ 点质量为 $pm\,\mathrm{kg}$ 的质点，换成一个位于 $A$ 点、质量为 $qm\,\mathrm{kg}$ 的质点。

梁仍保持水平平衡，但此时恰好要倾斜。

(b) 利用该模型，求 $q$ 的精确值。

(c) 说明如何使用了“梁是均匀的”这一建模假设。

设 $D$ 处张力为 $T$，$C$ 处就是 $4T$。均匀梁的重力作用在中点；绕 $A$ 取矩先求张力，再用竖直平衡求 $p$。

Let the tensions at $D$ and $C$ be $T$ and $4T$ respectively. The beam’s weight acts at its midpoint, 1 m from $A$, and $AD=1.8$ m.

Taking moments about $A$,

Vertical equilibrium gives

增加左端质量会使右侧 $D$ 处绳子变松。临界倾覆时 $D$ 处张力为零，绕 $C$ 取矩便可直接求 $q$。

At the point of tilting, the tension at $D$ is zero and the beam is about to tilt about $C$.

The midpoint is $1-0.6=0.4$ m to the right of $C$. Taking moments about $C$,

Thus $\boxed{q=\dfrac23}$.

均匀模型用于确定重心位置，说明整根梁的重力作用在中点即可。

The beam’s centre of mass was taken to be its midpoint, so its weight acts 1 m from $A$.