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M1 2023 June Q8

A Level / Edexcel / M1

IAL 2023 June Paper · Question 8

题目

Problem

8.

A square floor space ABCDABCD, with centre OO, is modelled as a flat horizontal surface measuring 50 m50\,\mathrm{m} by 50 m50\,\mathrm{m}, as shown in Figure 5.

The horizontal unit vectors i\mathbf{i} and j\mathbf{j} are in the direction of AB→\overrightarrow{AB} and AD→\overrightarrow{AD} respectively.

All position vectors are given relative to OO.

A small robot RR is programmed to travel across the floor at a constant velocity.

  • At time t=0t=0, RR is at the point with position vector (−2i+j) m(-2\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m}.
  • At time t=11 st=11\,\mathrm{s}, RR is at the point with position vector (9i+23j) m(9\mathbf{i}+23\mathbf{j})\,\mathrm{m}.
  • At time tt seconds, the position vector of RR is r\mathbf{r} metres.

(a) Find, in terms of tt, i\mathbf{i} and j\mathbf{j}, an expression for r\mathbf{r}.

(3)

A second robot SS is at the point CC.

  • At time t=0t=0, SS leaves CC and moves with constant velocity (−i−j) m s−1(-\mathbf{i}-\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}.
  • At time tt seconds, the position vector of SS is s\mathbf{s} metres.

(b) Write down, in terms of tt, i\mathbf{i} and j\mathbf{j}, an expression for s\mathbf{s}.

(1)

(c) Show that

SR→=[(2t−27)i+(3t−24)j] m\overrightarrow{SR}=\big[(2t-27)\mathbf{i}+(3t-24)\mathbf{j}\big]\,\mathrm{m}
(2)

(d) Find the time when the distance between RR and SS is a minimum.

(3)
题目中文翻译

如图 5 所示，将以 OO 为中心的正方形地面区域 ABCDABCD 视为一个 50 m50\,\mathrm{m} 乘 50 m50\,\mathrm{m} 的平坦水平面。

水平单位向量 i\mathbf{i} 和 j\mathbf{j} 分别沿 AB→\overrightarrow{AB} 和 AD→\overrightarrow{AD} 的方向。

所有位置向量均相对于 OO 给出。

一个小机器人 RR 被编程为以恒定速度穿过该地面区域。

  • 在 t=0t=0 时，RR 的位置向量为 (−2i+j) m(-2\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m}。
  • 在 t=11 st=11\,\mathrm{s} 时，RR 的位置向量为 (9i+23j) m(9\mathbf{i}+23\mathbf{j})\,\mathrm{m}。
  • 在 tt 秒时，RR 的位置向量为 r\mathbf{r} 米。

(a) 求用 tt、i\mathbf{i} 和 j\mathbf{j} 表示 r\mathbf{r} 的表达式。

(3)

第二个机器人 SS 位于 CC 点。

  • 在 t=0t=0 时，SS 离开 CC，以恒定速度 (−i−j) m s−1(-\mathbf{i}-\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}} 运动。
  • 在 tt 秒时，SS 的位置向量为 s\mathbf{s} 米。

(b) 写出用 tt、i\mathbf{i} 和 j\mathbf{j} 表示 s\mathbf{s} 的表达式。

(1)

(c) 证明

SR→=[(2t−27)i+(3t−24)j] m\overrightarrow{SR}=\big[(2t-27)\mathbf{i}+(3t-24)\mathbf{j}\big]\,\mathrm{m}
(2)

(d) 求 RR 与 SS 之间的距离最小时的时刻。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

匀速运动的速度等于位移向量除以时间，再加回初始位置，得到任意时刻的位置向量。

答题过程

展开

The velocity of RR is

vR=(9i+23j)−(−2i+j)11=i+2j m s−1.\mathbf v_R=\frac{(9\mathbf i+23\mathbf j)-(-2\mathbf i+\mathbf j)}{11} =\mathbf i+2\mathbf j\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Hence

r=(−2i+j)+t(i+2j)=(t−2)i+(2t+1)j m.\boxed{\mathbf r=(-2\mathbf i+\mathbf j)+t(\mathbf i+2\mathbf j) =(t-2)\mathbf i+(2t+1)\mathbf j\ \mathrm m}.

(b)

解法一

思路

展开

原点在正方形中心，右上角 CC 的坐标是 (25,25)(25,25)。把给定速度乘时间后加到这个初始位置。

答题过程

展开

Since OC→=25i+25j\overrightarrow{OC}=25\mathbf i+25\mathbf j m,

s=(25−t)i+(25−t)j m.\boxed{\mathbf s=(25-t)\mathbf i+(25-t)\mathbf j\ \mathrm m}.

(c)

解法一

思路

展开

从 SS 指向 RR 的向量是 RR 的位置减去 SS 的位置，逐分量相减即可。

答题过程

展开

Using SR→=r−s\overrightarrow{SR}=\mathbf r-\mathbf s,

SR→= [(t−2)−(25−t)]i+[(2t+1)−(25−t)]j,= [(2t−27)i+(3t−24)j] m,\begin{align*} \overrightarrow{SR}=&\,\bigl[(t-2)-(25-t)\bigr]\mathbf i +\bigl[(2t+1)-(25-t)\bigr]\mathbf j,\\ =&\,\bigl[(2t-27)\mathbf i+(3t-24)\mathbf j\bigr]\ \mathrm m, \end{align*}

as required.

(d)

解法一

思路

展开

距离与距离平方在同一时刻最小。对距离平方配方，平方项为零时取得全局最小；再检查此时机器人仍在正方形内。

答题过程

展开

Let DD be the distance between the robots. Then

D2= (2t−27)2+(3t−24)2,= 13t2−252t+1305,= 13(t−12613)2+108913.\begin{align*} D^2=&\,(2t-27)^2+(3t-24)^2,\\ =&\,13t^2-252t+1305,\\ =&\,13\left(t-\frac{126}{13}\right)^2+\frac{1089}{13}. \end{align*}

The square is non-negative, so the minimum occurs at

t=12613 s≈9.69 s.\boxed{t=\frac{126}{13}\ \mathrm s}\approx9.69\ \mathrm s.

At this time,

r=10013i+26513j,s=19913i+19913j.\mathbf r=\frac{100}{13}\mathbf i+\frac{265}{13}\mathbf j,\qquad \mathbf s=\frac{199}{13}\mathbf i+\frac{199}{13}\mathbf j.

All coordinates lie between −25-25 and 2525, so both robots are still on the floor.

解法二

思路

展开

也可对距离平方微分，解驻点，并以正的二阶导数证明是最小值。

答题过程

展开

The squared distance is

f(t)=(2t−27)2+(3t−24)2=13t2−252t+1305.f(t)=(2t-27)^2+(3t-24)^2=13t^2-252t+1305.

Thus

f′(t)=26t−252,f′′(t)=26>0.f'(t)=26t-252,\qquad f''(t)=26>0.

The unique global minimum is at

26t−252=0,t=12613 s.26t-252=0,\qquad \boxed{t=\frac{126}{13}\ \mathrm s}.

This is a non-negative time before RR reaches the upper boundary at t=12t=12 s and before SS reaches the opposite corner at t=50t=50 s.