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M1 2023 Oct Q4

A Level / Edexcel / M1

IAL 2023 Oct Paper · Question 4

题目

Problem

4.

[In this question i\mathbf{i} and j\mathbf{j} are horizontal unit vectors directed due east and due north respectively.]

A particle PP moves with constant acceleration (−λi+2λj) m s−2(-\lambda\mathbf{i}+2\lambda\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-2}}, where λ\lambda is a positive constant.

At time t=0t=0, the velocity of PP is (5i−8j) m s−1(5\mathbf{i}-8\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}

(a) Find the velocity of PP when t=5 st=5\,\mathrm{s}, giving your answer in terms of i\mathbf{i}, j\mathbf{j} and λ\lambda.

(2)

The speed of PP when t=5 st=5\,\mathrm{s} is 13 m s−113\,\mathrm{m\,s^{-1}}

(b) Show that

25λ2−42λ−16=025\lambda^2-42\lambda-16=0
(3)

(c) Find the direction of motion of PP when t=4 st=4\,\mathrm{s}, giving your answer as a bearing to the nearest degree.

(5)
题目中文翻译

[本题中，i\mathbf{i} 和 j\mathbf{j} 分别为指向正东和正北的水平单位向量。]

质点 PP 以恒定加速度 (−λi+2λj) m s−2(-\lambda\mathbf{i}+2\lambda\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-2}} 运动，其中 λ\lambda 为正常数。

在 t=0t=0 时，PP 的速度为 (5i−8j) m s−1(5\mathbf{i}-8\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}。

(a) 求 t=5 st=5\,\mathrm{s} 时 PP 的速度，用 i\mathbf{i}、j\mathbf{j} 和 λ\lambda 表示。

(2)

在 t=5 st=5\,\mathrm{s} 时，PP 的速率为 13 m s−113\,\mathrm{m\,s^{-1}}。

(b) 证明

25λ2−42λ−16=025\lambda^2-42\lambda-16=0
(3)

(c) 求 t=4 st=4\,\mathrm{s} 时 PP 的运动方向，以方位角表示，精确到最接近的整数度。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

恒加速度向量满足速度等于初速度加加速度乘时间；最后明确写出两个单位向量的系数。

答题过程

展开

Using v=u+ta\mathbf v=\mathbf u+t\mathbf a, at t=5t=5,

v= (5i−8j)+5(−λi+2λj),= (5−5λ)i+(−8+10λ)j m s−1.\begin{align*} \mathbf v=&\,(5\mathbf i-8\mathbf j)+5(-\lambda\mathbf i+2\lambda\mathbf j),\\ =&\,\boxed{(5-5\lambda)\mathbf i+(-8+10\lambda)\mathbf j\ \mathrm{m\,s^{-1}}}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

速率是速度向量的模。把两分量平方相加等于 13213^2，展开并整理，不能只写给定的二次式。

答题过程

展开

The speed at t=5t=5 is 13 m s−113\ \mathrm{m\,s^{-1}}, so

(5−5λ)2+(−8+10λ)2= 169,25−50λ+25λ2+64−160λ+100λ2= 169,125λ2−210λ−80= 0.\begin{align*} (5-5\lambda)^2+(-8+10\lambda)^2=&\,169,\\ 25-50\lambda+25\lambda^2+64-160\lambda+100\lambda^2=&\,169,\\ 125\lambda^2-210\lambda-80=&\,0. \end{align*}

Dividing by 5 gives

25λ2−42λ−16=0,\boxed{25\lambda^2-42\lambda-16=0},

as required.

(c)

解法一

思路

展开

先由正参数条件选出 λ=2\lambda=2，再求第 4 秒的速度。速度向西北，方位角应从正北顺时针量取，而不是直接用反正切的锐角。

答题过程

展开

Factorising,

(λ−2)(25λ+8)=0.(\lambda-2)(25\lambda+8)=0.

Since λ>0\lambda>0, λ=2\lambda=2 and a=−2i+4j\mathbf a=-2\mathbf i+4\mathbf j. At t=4t=4,

v=(5i−8j)+4(−2i+4j)=−3i+8j m s−1.\mathbf v=(5\mathbf i-8\mathbf j)+4(-2\mathbf i+4\mathbf j) =-3\mathbf i+8\mathbf j\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

The direction is west of north. If β\beta is the angle west of north,

tan⁡β=38,β=20.5560…∘.\tan\beta=\frac38,\qquad \beta=20.5560\ldots^\circ.

The bearing, measured clockwise from north, is

360∘−β=339.4439…∘=339∘360^\circ-\beta=339.4439\ldots^\circ=\boxed{339^\circ}

to the nearest degree.