一个质量为 $0.2\,\mathrm{kg}$ 的小环连接于一根不可伸长的轻绳的一端。

小环套在一根固定的粗糙竖直杆上。

如图 3 所示，绳绷紧并与杆成 $\theta$ 角，其中 $\tan\theta=\frac{12}{5}$。

已知小环处于平衡状态，绳中的张力为 $10\,\mathrm{N}$，

(a) 求作用在小环上的摩擦力大小，

(b) 说明作用在小环上的摩擦力方向。

小环与杆之间的摩擦系数为 $\frac14$。

已知小环处于平衡状态，且绳中的张力 $T$ 牛顿现在可以改变，

(c) (i) 求 $T$ 的最小值，

(ii) 求 $T$ 的最大值。

角度从竖直杆量起，所以张力竖直分量为 $10\cos\theta$。该分量大于重力，实际静摩擦向下；本问无需假定临界摩擦。

Since $\tan\theta=12/5$,

The upward component of tension is $50/13$ N, exceeding the weight $0.2g=1.96$ N. Therefore friction acts downwards. Vertical equilibrium gives

The frictional force has magnitude $\boxed{1.89\ \mathrm N}$ (3 s.f.).

摩擦阻止小环向上的运动趋势，所以方向沿杆向下。

The frictional force acts $\boxed{\text{vertically downwards}}$ along the rod.

张力最小时，小环有向下滑动的趋势，临界摩擦向上。张力改变会使水平支持力也改变，因此要重新写 $R=T\sin\theta$。

Let $R$ be the normal reaction of the rod. Resolving horizontally,

For the minimum tension, the ring is on the point of slipping downwards. Friction is upwards and has limiting magnitude

Vertical equilibrium gives

Hence the minimum tension is $\boxed{3.19\ \mathrm N}$ (3 s.f.).

张力最大时，小环有向上滑动的趋势，临界摩擦向下。支持力仍应随当前张力计算。

For the maximum tension, the ring is on the point of slipping upwards. Friction is downwards with magnitude

Vertical equilibrium now gives

Hence the maximum tension is $\boxed{12.7\ \mathrm N}$ (3 s.f.).