图 3 显示了作用在一个粒子上的两个水平力 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{Q}$。

$\mathbf{P}$ 的方向与 $\mathbf{Q}$ 的方向之间的夹角为 $150^\circ$。

力 $\mathbf{P}$ 的大小为 $X$ 牛顿。

力 $\mathbf{Q}$ 的大小为 $5\sqrt{3}\text{ N}$。

$\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{Q}$ 的合力大小为 $\sqrt{129}\text{ N}$。

求：

(i) $X$ 的值。

(ii) $\mathbf{Q}$ 与合力之间的夹角，答案精确到最接近的度数。

选向右为水平正方向，向上为另一正方向。把两力分解后，用合力模的平方建立关于 $X$ 的二次方程，负的力大小必须舍弃。

Take $\mathbf i$ horizontally to the right in the diagram and $\mathbf j$ upwards. Then

The resultant is

Since $|\mathbf R|=\sqrt{129}$,

As $X$ is a magnitude, reject $-3$, giving $\boxed{X=18}$.

把两个力首尾相接构成力三角形，三角形内角是 $30^\circ$，不能把原图同起点两力的 $150^\circ$ 直接当成该内角。

In the head-to-tail force triangle, the sides of lengths $X$ and $5\sqrt3$ include the interior angle $180^\circ-150^\circ=30^\circ$. The opposite side is the resultant, $\sqrt{129}$. By the cosine rule,

Therefore

Rejecting the negative magnitude gives $\boxed{X=18}$.

已知一边及其对角，可先用正弦定理求另一个角。较大的补角会使三角形内角和超过 $180^\circ$，因此可排除。

In the force triangle, let $\alpha$ be the interior angle opposite the side $5\sqrt3$. The side $\sqrt{129}$ is opposite $30^\circ$, so

Hence

The supplementary value $157.589\ldots^\circ$ is impossible since adding $30^\circ$ would exceed $180^\circ$. The remaining interior angle is

Applying the sine rule once more,

代入 $X=18$ 求合力分量。合力向右上方，而 $\mathbf Q$ 向左，要求的通常夹角是钝角。

With $X=18$,

Let $\phi$ be the angle of $\mathbf R$ above the positive horizontal direction:

As $\mathbf Q$ points to the left, the required angle is

to the nearest degree.

在力三角形中，$X$ 对面的内角正好是 $\mathbf Q$ 与合力的夹角。用余弦定理可直接确定钝角，避免反正弦的补角问题。

Let $\beta$ be the angle between $\mathbf Q$ and $\mathbf R$. In the force triangle, $\mathbf P=\mathbf R-\mathbf Q$, so

Consequently,

giving

to the nearest degree.