[本题中，$\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分别为指向正东和正北的水平单位向量，位置向量均相对于固定原点 $O$ 给出。]

午夜时，船 $S$ 位于位置向量为 $(19\mathbf{i}+22\mathbf{j})\,\mathrm{km}$ 的点。

船以恒定速度 $(12\mathbf{i}-16\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ 航行。

(a) 求 $S$ 的速率。

午夜之后 $t$ 小时时，$S$ 的位置向量为 $\mathbf{s}\,\mathrm{km}$。

(b) 求用 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 和 $t$ 表示 $\mathbf{s}$ 的表达式。

一座灯塔建在一个岩石小岛上。将灯塔视为位置向量为 $(26\mathbf{i}+15\mathbf{j})\,\mathrm{km}$ 的点。

船进入距灯塔 $1.3\,\mathrm{km}$ 以内的区域是不安全的。

(c) (i) 求 $S$ 距灯塔最近时的 $t$ 值。

(ii) 由此判断 $S$ 继续沿原航线航行是否安全。

速率是速度向量的模，用两正交分量的平方和开根号。

The speed is

匀速运动的位置等于初位置加上速度向量乘时间；注意这里的速度是恒定速度，不是加速度。

Using initial position plus velocity multiplied by elapsed time,

Hence

先求从灯塔到船的相对位置。最小化距离等同于最小化距离平方，配方后直接看出最小时刻，并检查在午夜之后。

Let $L$ be the lighthouse. The displacement from $L$ to $S$ is

Writing the distance as $d$ km,

The squared term is non-negative, so $d$ is minimised at $\boxed{t=0.49}$. This lies in the permitted interval $t\geq0$.

船沿直线航行，到固定灯塔最近时，船到灯塔的连线与航向垂直。用数量积为零求时间。

The shortest line from the lighthouse to the ship’s straight path is perpendicular to the velocity. Therefore

Thus

Since this time is positive, the perpendicular foot is on the future part of the course and gives the minimum distance.

也可在平面坐标中求船航线与经过灯塔的垂线的交点，再由交点坐标恢复时间。

The ship’s path has slope $-16/12=-4/3$, so

The perpendicular through the lighthouse $(26,15)$ has slope $3/4$:

Solving these simultaneous equations gives

At this point on the ship’s path,

The positive time confirms that the ship will reach this nearest point after midnight.

必须求出最小距离，再与安全界限 1.3 km 比较，不能只凭最近时刻作结论。

At $t=0.49$, the minimum distance is

Since $1.4>1.3$, the ship never enters the unsafe region. It is therefore $\boxed{\text{safe for }S\text{ to continue its course}}$.