题目

Problem

A fixed rough plane is inclined at an angle $\alpha$ to the horizontal, where $\tan\alpha=\frac5{12}$

A small smooth pulley is fixed at the top of the plane.

One end of a light inextensible string is attached to a particle $P$ which is at rest on the plane. The string passes over the pulley and the other end of the string is attached to a particle $Q$ which hangs vertically below the pulley, as shown in Figure 5.

Particle $P$ has mass $m$ and particle $Q$ has mass $0.5m$

The string from $P$ to the pulley lies along a line of greatest slope of the plane.

The coefficient of friction between $P$ and the plane is $\mu$ .

The system is in limiting equilibrium with the string taut and $P$ is on the point of slipping up the plane.

(a) Find the value of $\mu$ .

(8)

The string breaks and $P$ begins to move down the plane.

When particle $P$ has travelled a distance of $0.8\,\mathrm{m}$ down the plane, the speed of $P$ is $V\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

(b) Find the value of $V$ .

(4)

题目中文翻译

一个固定的粗糙斜面与水平面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\frac5{12}$ 。

一个小光滑滑轮固定在斜面的顶端。

一根不可伸长的轻绳的一端连接于静止在斜面上的质点 $P$ 。绳跨过滑轮，另一端连接于竖直悬挂在滑轮下方的质点 $Q$ ，如图 5 所示。

质点 $P$ 的质量为 $m$ ，质点 $Q$ 的质量为 $0.5m$ 。

从 $P$ 到滑轮的一段绳沿斜面的最大坡度线放置。

$P$ 与斜面之间的摩擦系数为 $\mu$ 。

系统处于极限平衡状态，绳绷紧， $P$ 恰好要沿斜面向上滑动。

(a) 求 $\mu$ 的值。

(8)

绳断裂后， $P$ 开始沿斜面向下运动。

质点 $P$ 沿斜面向下运动 $0.8\,\mathrm{m}$ 后，其速率为 $V\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

(b) 求 $V$ 的值。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

$P$ 即将向上滑动，所以摩擦力向下； $Q$ 静止给出张力。联立 $P$ 的垂直及沿斜面平衡与临界摩擦公式，质量和重力因子会约去。

答题过程

展开

Since $\tan\alpha=5/12$ ,

\sin\alpha=\frac5{13},\qquad \cos\alpha=\frac{12}{13}.

For $P$ , resolving perpendicular to the plane gives

R=mg\cos\alpha=\frac{12mg}{13}.

Particle $Q$ is in equilibrium, so $T=0.5mg$ . Because $P$ is on the point of slipping up the plane, limiting friction acts down the plane and $F=\mu R$ . Resolving along the plane,

\begin{align*} T=&\,mg\sin\alpha+F,\\ 0.5mg=&\,\frac{5mg}{13}+\mu\frac{12mg}{13},\\ \frac12=&\,\frac5{13}+\frac{12\mu}{13},\\ \frac{12\mu}{13}=&\,\frac3{26},\\ \mu=&\,\boxed{\frac18}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

绳断后张力为零， $P$ 向下运动，因此摩擦改向上。支持力不变，因为原张力平行斜面。先求新的加速度，再求下滑 0.8 m 后的速率。

答题过程

展开

After the string breaks, $T=0$ and $P$ moves down the plane, so friction acts up the plane. The normal reaction remains $12mg/13$ . Hence

F=\mu R=\frac18\frac{12mg}{13}=\frac{3mg}{26}.

Taking down the plane as positive,

\begin{align*} mg\sin\alpha-F=&\,ma,\\ \frac{5mg}{13}-\frac{3mg}{26}=&\,ma,\\ a=&\,\frac{7g}{26}. \end{align*}

Starting from rest and travelling 0.8 m,

V^2=0^2+2\left(\frac{7g}{26}\right)(0.8).

Thus

V=\sqrt{\frac{11.2(9.8)}{26}} =\boxed{2.05}\quad\text{(3 s.f.)}.

M1 2024 Jan Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程