[本题中，水平单位向量 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分别指向正东和正北，位置向量均相对于固定原点 $O$ 给出。]

两艘快艇 $A$ 和 $B$ 各自以恒定速度运动。

• $A$ 的速度为向正东 $40\,\mathrm{km\,h^{-1}}$。
• $B$ 的速度大小为 $20\,\mathrm{km\,h^{-1}}$，方向的方位角为 $\alpha$ $(0^\circ<\alpha<90^\circ)$，其中 $\tan\alpha=\frac43$。

将两艘快艇视为质点。

(a) 用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示 $B$ 的速度，单位为 $\mathrm{km\,h^{-1}}$。

正午时，

• $A$ 的位置向量为 $20\mathbf{j}\,\mathrm{km}$。
• $B$ 的位置向量为 $(10\mathbf{i}+5\mathbf{j})\,\mathrm{km}$。

正午之后 $t$ 小时时，

• $A$ 的位置向量为 $\mathbf{r}\,\mathrm{km}$，其中 $\mathbf{r}=20\mathbf{j}+40t\mathbf{i}$。
• $B$ 的位置向量为 $\mathbf{s}\,\mathrm{km}$。

(b) 求用 $t$、$\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示 $\mathbf{s}$ 的表达式。

(c) 证明正午之后 $t$ 小时时，

(d) 证明两艘快艇永远不会相撞。

(e) 当从 $A$ 看 $B$ 的方位角为 $225^\circ$ 时，求两艇之间的距离。

方位角从正北量起，因此东向分量用正弦、北向分量用余弦。

From $\tan\alpha=4/3$ and $0^\circ<\alpha<90^\circ$,

Therefore

位置等于中午的初位置加上速度乘经过的小时数，最终用 $\mathbf i,\mathbf j$ 表示。

At $t$ hours after noon,

从 $A$ 指向 $B$ 的位移向量是终点位置减起点位置；必须保留方向和给定的两分量形式。

Subtracting the position of $A$ from that of $B$,

as required.

相撞要求同一时刻两坐标都相同，即相对位移的两分量同时为零。分别求时间，发现不一致即可。

For a collision, both components of $\overrightarrow{AB}$ must be zero at the same time:

whereas

These times are different, so the components cannot vanish simultaneously. Therefore the boats will never collide.

把两艇距离平方设为零，得到二次方程。判别式为负说明没有任何实数时刻能使距离为零。

A collision would require

The discriminant is

There is no real solution for $t$, so the boats will never collide.

也可求全程最小距离。距离平方配方后的常数项严格为正，直接排除相撞。

The squared distance is

Thus $AB^2\geq80>0$ for every $t$. The minimum distance, $\sqrt{80}$ km, is positive, so the boats will never collide.

$225^\circ$ 是西南方向，要求相对位置的东西与南北分量相等且都为负。先由分量相等求时间，再检查象限并求距离。

A bearing of $225^\circ$ is southwest at $45^\circ$, so the east and north components of $\overrightarrow{AB}$ must be equal and negative. Equating them gives

At this time,

Both components are negative, confirming the required southwest bearing. Hence