一根不可伸长的轻绳的一端连接于质量为 $2m$ 的质点 $A$，另一端连接于质量为 $3m$ 的质点 $B$。质点 $A$ 被保持静止在粗糙斜面上，斜面与水平地面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\frac5{12}$。

绳跨过一个固定在斜面顶端的小光滑滑轮 $P$。 如图 4 所示，质点 $B$ 竖直悬挂于 $P$ 下方，离地高度为 $h$，绳绷紧。

$A$ 与 $P$ 之间的一段绳沿斜面的最大坡度线放置。 两质点、绳和滑轮均处于同一个竖直平面内。

$A$ 与斜面之间的摩擦系数为 $\frac{11}{36}$。

质点 $A$ 由静止释放，开始沿斜面向上运动。

(a) 证明 $A$ 沿斜面向上运动时所受的摩擦力为 $\frac{22mg}{39}$。

(b) 写出 $B$ 的运动方程。

(c) 证明 $A$ 刚释放后的加速度为 $\frac13g$。

在随后的运动中，$A$ 在到达滑轮之前静止。

(d) 用 $h$ 表示 $A$ 从由静止释放到首次再次静止所经过的总路程。

张力平行斜面，支持力由重力垂直斜面的分量决定。用给定摩擦系数乘支持力，并明确摩擦方向向下。

From $\tan\alpha=5/12$,

Resolving perpendicular to the plane for $A$,

Since $A$ moves up the plane, friction acts down the plane and has magnitude

as required.

令共同加速度大小为 $a$，张力为 $T$。对质量为 $3m$、向下运动的 $B$ 列方程。

Let the tension be $T$ and the common acceleration magnitude be $a$. For $B$, taking downwards as positive,

对 $A$ 沿斜面向上列方程，再与 $B$ 的方程相加消去张力。保留精确的三角比与分数，逐步推出给定加速度。

For $A$, taking up the plane as positive,

The total resistance to its upward motion is

so

Adding this to $3mg-T=3ma$ gives

Therefore $\boxed{a=\dfrac g3}$, as required.

先考虑绳绷紧阶段：$B$ 下落 $h$ 时，$A$ 也上升 $h$。$B$ 落地后绳松弛，$A$ 靠惯性继续上升，张力为零；重力分量与摩擦都使它减速，必须重新求加速度。

While the string is taut, $A$ travels a distance $h$ up the plane before $B$ reaches the ground. Starting from rest with acceleration $g/3$, its speed $v$ at that instant satisfies

After $B$ reaches the ground, the string becomes slack and the tension is zero. Particle $A$ continues up the plane, opposed by both friction and the component of its weight. Taking up the plane as positive, its new acceleration $a_2$ satisfies

Let the further upward distance before first coming to rest be $d$. Then

The total distance is therefore

也可在绳松弛后的阶段使用功能关系：$A$ 的初动能用于增加重力势能并克服摩擦。最后记得加上前一阶段已经上升的 $h$。

When $B$ reaches the ground, $A$ has moved $h$ and has speed $v$, where

The string then becomes slack. Let the further upward distance to rest be $d$. The gain in gravitational potential energy is

and the work against friction is $22mgd/39$. Conservation of energy with frictional work gives

Hence the total distance travelled is