题目

Problem

Particle $A$ has mass $4m$ and particle $B$ has mass $3m$ .

The particles are moving in opposite directions along the same straight line on a smooth horizontal surface when they collide directly.

Immediately before the collision, the speed of $A$ is $2x$ and the speed of $B$ is $x$ .

Immediately after the collision, the speed of $A$ is $y$ and the speed of $B$ is $5y$ .

The direction of motion of each particle is reversed as a result of the collision.

(a) Show that $y=\frac5{11}x$ .

(3)

(b) Find, in terms of $m$ and $x$ , the magnitude of the impulse received by $A$ in the collision.

(3)

题目中文翻译

质点 $A$ 的质量为 $4m$ ，质点 $B$ 的质量为 $3m$ 。

两质点在光滑水平面上沿同一直线相向运动，并发生正碰。

碰撞前一瞬间， $A$ 的速率为 $2x$ ， $B$ 的速率为 $x$ 。

碰撞后瞬间， $A$ 的速率为 $y$ ， $B$ 的速率为 $5y$ 。

碰撞使每个质点的运动方向均反转。

(a) 证明 $y=\frac5{11}x$ 。

(3)

(b) 用 $m$ 和 $x$ 表示碰撞过程中 $A$ 所受冲量的大小。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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取 $A$ 碰前方向为正。两粒子碰后均反向，因此 $A$ 的末速度为 $-y$ ， $B$ 为 $5y$ ；列总动量守恒并约去质量因子。

答题过程

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Take the initial direction of $A$ as positive. The initial velocities are $2x$ and $-x$ ; after impact they are $-y$ and $5y$ respectively. Conservation of momentum gives

\begin{align*} 4m(2x)+3m(-x)=&\,4m(-y)+3m(5y),\\ 5mx=&\,11my,\\ y=&\,\boxed{\frac5{11}x}, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

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冲量等于 $A$ 的动量变化。由于速度反向，变化量的大小要把两段速率相加，而不是相减。

答题过程

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The impulse on $A$ is

\begin{align*} I_A=&\,4m(-y-2x),\\ =&\,-4m\left(\frac{5x}{11}+2x\right),\\ =&\,-\frac{108mx}{11}. \end{align*}

Thus its magnitude is $\boxed{\dfrac{108mx}{11}}$ .

解法二

思路

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也可由 $B$ 的动量变化求其冲量，再用两粒子相互作用冲量等大反向。

答题过程

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For $B$ , the impulse is

\begin{align*} I_B=&\,3m(5y-(-x)),\\ =&\,3m\left(\frac{25x}{11}+x\right),\\ =&\,\frac{108mx}{11}. \end{align*}

The impulse on $A$ has the same magnitude, $\boxed{\dfrac{108mx}{11}}$ .

M1 2024 Oct Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程