题目

Problem

[In this question $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are horizontal unit vectors and position vectors are given relative to a fixed origin.]

A ship $A$ is moving with constant velocity.

At 1 pm, the position vector of $A$ is $(25\mathbf{i}+10\mathbf{j})\,\mathrm{km}$ .

At 3 pm, the position vector of $A$ is $(55\mathbf{i}+34\mathbf{j})\,\mathrm{km}$ .

At time $t$ hours after 1 pm, the position vector of $A$ is $\mathbf{r}_A\,\mathrm{km}$ .

(a) Show that $\mathbf{r}_A=(25+15t)\mathbf{i}+(10+12t)\mathbf{j}$

(4)

The speed of $A$ is $V\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

(b) Find the value of $V$ .

(2)

A ship $B$ is moving with constant velocity $(20\mathbf{i}-6\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$

At 1 pm, the position vector of $B$ is $(35\mathbf{i}+51\mathbf{j})\,\mathrm{km}$ .

At 2:30 pm, $B$ passes through the point $P$ .

(5)

题目中文翻译

[本题中， $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 为水平单位向量，位置向量均相对于一个固定原点给出。]

船 $A$ 以恒定速度航行。

下午 1 时， $A$ 的位置向量为 $(25\mathbf{i}+10\mathbf{j})\,\mathrm{km}$ 。

下午 3 时， $A$ 的位置向量为 $(55\mathbf{i}+34\mathbf{j})\,\mathrm{km}$ 。

下午 1 时之后 $t$ 小时时， $A$ 的位置向量为 $\mathbf{r}_A\,\mathrm{km}$ 。

(a) 证明 $\mathbf{r}_A=(25+15t)\mathbf{i}+(10+12t)\mathbf{j}$ 。

(4)

$A$ 的速率为 $V\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 。

(b) 求 $V$ 的值。

(2)

船 $B$ 以恒定速度 $(20\mathbf{i}-6\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ 航行。

下午 1 时， $B$ 的位置向量为 $(35\mathbf{i}+51\mathbf{j})\,\mathrm{km}$ 。

下午 2:30， $B$ 经过 $P$ 点。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

由两小时的位置变化求速度，再从下午 1 时的位置出发写位置向量，最后用题目指定的分量形式。

答题过程

展开

The constant velocity is

\begin{align*} \mathbf v_A=&\,\frac{(55\mathbf i+34\mathbf j)-(25\mathbf i+10\mathbf j)}{2},\\ =&\,15\mathbf i+12\mathbf j\ \mathrm{km\,h^{-1}}. \end{align*}

Therefore, $t$ hours after 1 pm,

\begin{align*} \mathbf r_A=&\,25\mathbf i+10\mathbf j+t(15\mathbf i+12\mathbf j),\\ =&\,\boxed{(25+15t)\mathbf i+(10+12t)\mathbf j}, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

先求以 km/h 为单位的速度向量的模，再乘 $1000/3600$ 换成 m/s。

答题过程

展开

The speed in $\mathrm{km\,h^{-1}}$ is

|\mathbf v_A|=\sqrt{15^2+12^2}=\sqrt{369}.

Thus

V=\sqrt{369}\frac{1000}{3600} =\frac{5\sqrt{41}}6=\boxed{5.34}\quad\text{(3 s.f.)}.

(c)

解法一

思路

展开

先用 $B$ 在下午 2:30 的位置确定固定点 $P$ 。再证明 $A$ 的两个坐标在同一个时刻都等于 $P$ 的坐标；不要求两船同时到达。

答题过程

展开

At 2:30 pm, $t=1.5$ , so the position vector of $P$ is

\begin{align*} \mathbf r_P=&\,(35\mathbf i+51\mathbf j)+1.5(20\mathbf i-6\mathbf j),\\ =&\,65\mathbf i+42\mathbf j\ \mathrm{km}. \end{align*}

For $A$ to pass through $P$ , its first component must satisfy

25+15t=65,\qquad t=\frac83.

At this same time, its second component is

10+12\left(\frac83\right)=42.

Hence

\mathbf r_A\left(\frac83\right)=65\mathbf i+42\mathbf j=\mathbf r_P,

so $A$ also passes through $P$ (at 3:40 pm).

M1 2024 Oct Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程