在 $t=0$ 时，小球 $A$ 从水平地面上的一个固定点以速率 $8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 竖直向上抛出。 小球在 $t=T_1$ 秒时首次再次撞击地面。

将小球 $A$ 视为仅在重力作用下运动的质点。

(a) 证明 $T_1=1.63$，保留 3 位有效数字。

第一次撞击地面后，$A$ 反弹到离地 $2\,\mathrm{m}$ 的高度。

已知 $A$ 的质量为 $0.1\,\mathrm{kg}$，

(b) 求 $A$ 第一次撞击地面时所受冲量的大小。

在 $t=1$ 秒时，另一个小球 $B$ 从地面上的另一点以速率 $5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 竖直向上抛出。

将小球 $B$ 视为仅在重力作用下运动的质点。

在 $t=T_2$ 秒时 $(T_2>1)$，$A$ 和 $B$ 首次处于离地相同的高度。

(c) 求 $T_2$ 的值。

第一次回到地面时相对发射点的位移为零。解时间方程时舍去起始时刻零根。

Taking upwards as positive, the height before the first impact is

At the first return to the ground,

Since $T_1>0$,

as required.

落地前速度为向下 8，反弹后速度由上升最高 2 m 求出。冲量用有符号末速度减初速度，两个方向相反时速率要相加。

By symmetry, immediately before impact $A$ has velocity $-8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ with upwards positive.

Let its upward rebound speed be $u$. To rise 2 m before coming instantaneously to rest,

The impulse is the change in momentum:

Its magnitude is $\boxed{1.43\ \mathrm{N\,s}}$ (3 s.f.).

先尝试第一次落地之前的运动。$A$ 已运动 $T_2$ 秒，$B$ 只运动 $T_2-1$ 秒，分别写高度后相等，最后检查所得时间确实在这个阶段。

For $1<T_2<T_1$, the heights above the ground are

Equating heights and expanding the right-hand side,

This satisfies $1<T_2<16/9.8=T_1$, so neither ball has hit the ground in this interval. The height difference is linear in $T_2$ and has just one zero here; this is the first equal-height time after $t=1$.

Thus $\boxed{T_2=1.46}$ (3 s.f.).

把 $B$ 发射时刻设为新的时间零点。此时 $A$ 在 3.1 m 高处、向下速度 1.8。两球加速度相同，二次项抵消，可用相对速度求追到同一高度的时长。

At $t=1$, ball $A$ has height

and upward velocity $8-9.8=-1.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

Let $\tau$ be the time after $B$ is projected. While both are in free flight,

Equating heights gives

Hence

Since $1<T_2<T_1$, this occurs before $A$‘s first ground impact. The relative velocity is constant and nonzero, so this is the first equal-height time after $t=1$.