质量为 $3m\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 和质量为 $m\,\mathrm{kg}$ 的质点 $Q$ 静止在粗糙水平面上。如图 1 所示，$P$ 与 $Q$ 相距 $1.4\,\mathrm{m}$。

现沿 $PQ$ 方向对 $P$ 施加大小为 $\lambda\,\mathrm{N\,s}$ 的冲量。 施加冲量后瞬间，$P$ 的速率为 $5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 用 $m$ 表示 $\lambda$。

$P$ 与 $Q$ 碰撞前一瞬间，$P$ 的速率为 $2.5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。 $P$ 与水平面之间的摩擦系数为 $\mu$。

(b) 求 $\mu$ 的值。

$P$ 与 $Q$ 碰撞后瞬间，$Q$ 的速率为 $2.1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(c) 求碰撞后瞬间 $P$ 的速率。

施加冲量使质量为 $3m$ 的 $P$ 从静止变为速率 5，用动量变化直接求冲量。

Taking the direction $PQ$ as positive, the impulse-momentum equation gives

先根据碰前的减速距离求加速度，再由水平面的支持力与摩擦列运动方程。质量应在力和质量乘加速度两侧一致。

Take the motion towards $Q$ as positive. Over the 1.4 m journey,

so

The normal reaction is $R=3mg$ and the friction magnitude is $F=\mu R=3\mu mg$. Newton’s second law gives

Thus

碰撞的短暂过程使用总动量守恒。$Q$ 碰后沿原 $PQ$ 方向离开，求 $P$ 的有符号速度，最后给速率。

Take the original direction of $P$ as positive. Particle $Q$ moves forwards after impact. Let $v$ be the final velocity of $P$ in this direction. Conservation of momentum gives

The speed of $P$ is therefore $\boxed{1.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}}$.