一根不可伸长的轻绳使质量为 $m$ 的质点 $P$ 在固定的粗糙斜面上保持平衡。

斜面与水平面成 $\alpha$ 角，其中 $\alpha<45^\circ$。 如图 3 所示，绳与斜面也成 $\alpha$ 角。

绳位于包含斜面一条最大坡度线的竖直平面内。

当绳中的张力为 $0.75mg$ 时，$P$ 恰好要沿斜面向上运动。

(a) 求作用在 $P$ 上的摩擦力大小的表达式，用 $m$、$g$ 和 $\alpha$ 表示。

$P$ 与斜面之间的摩擦系数为 $\frac12$。

(b) 证明

绳断裂。

(c) 判断 $P$ 是否保持静止。必须说明理由。

质点即将向上滑动，摩擦向下。沿斜面分解，张力向上的分量平衡重力分量与摩擦。

Since $P$ is on the point of moving up the plane, friction acts down the plane. Resolving parallel to the plane,

Hence the friction magnitude is

张力有离开斜面的分量，因此减小支持力。用垂直方向平衡及临界摩擦 $F=R/2$ 联立，明确把正弦和余弦项分别合并。

Resolving perpendicular to the plane,

so

Since equilibrium is limiting, $F=\tfrac12R$. Substituting the expression from (a) and cancelling $mg$,

Collecting cosine and sine terms,

Since $\cos\alpha>0$,

as required.

断绳后支持力恢复为 $mg\cos\alpha$，最大静摩擦也随之改变。实际只需向上摩擦平衡重力下滑分量，比较两者而不是直接套用滑动摩擦求加速度。

After the string breaks, the new normal reaction is

The maximum available static friction is

The friction required to prevent sliding down is $mg\sin\alpha$. From $\tan\alpha=2/5$,

There is enough static friction to balance the downslope weight component. Therefore $\boxed{P\text{ remains at rest}}$, with friction acting up the plane.