题目

Problem

Figure 1 shows two particles, $P$ and $Q$ , moving in the same direction along the same straight line on a smooth horizontal surface. Particle $P$ has mass $km$ and particle $Q$ has mass $3m$ The particles collide directly.

Immediately before the collision, the speed of $P$ is $5u$ and the speed of $Q$ is $2u$

Immediately after the collision, the speed of $P$ is $2u$ and its direction of motion is unchanged.

Immediately after the collision, the speed of $Q$ is $v$

The impulse exerted on $Q$ by $P$ in the collision has magnitude $4.5mu$

(a) Find $v$ in terms of $u$ only.

(3)

(b) Find the value of $k$

(3)

题目中文翻译

如图 1 所示，两质点 $P$ 和 $Q$ 在光滑水平面上沿同一直线同向运动。质点 $P$ 的质量为 $km$ ，质点 $Q$ 的质量为 $3m$ 。两质点发生正碰。

碰撞前一瞬间， $P$ 的速率为 $5u$ ， $Q$ 的速率为 $2u$ 。

碰撞后瞬间， $P$ 的速率为 $2u$ ，运动方向不变。

碰撞后瞬间， $Q$ 的速率为 $v$ 。

碰撞过程中 $P$ 对 $Q$ 施加的冲量大小为 $4.5mu$ 。

(a) 仅用 $u$ 表示 $v$ 。

(3)

(b) 求 $k$ 的值。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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对前方的 $Q$ ，冲量沿原运动方向，使其动量增加。用质量 $3m$ 与碰前速率 $2u$ 写动量变化。

答题过程

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Take the original direction of motion as positive. The impulse on $Q$ acts forwards, so

\begin{align*} 4.5mu=&\,3m(v-2u),\\ 1.5u=&\,v-2u,\\ v=&\,\boxed{3.5u}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

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$P$ 所受冲量与 $Q$ 等大反向。 $P$ 从 $5u$ 减至 $2u$ ，代入动量变化后可约去 $mu$ 。

答题过程

展开

The impulse on $P$ is $-4.5mu$ . Hence

\begin{align*} -4.5mu=&\,km(2u-5u),\\ -4.5=&\,-3k,\\ k=&\,\boxed{1.5}. \end{align*}

解法二

思路

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也可利用上一问的 $v=3.5u$ ，对整个系统使用总动量守恒求质量比。

答题过程

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Conservation of momentum gives

km(5u)+3m(2u)=km(2u)+3m(3.5u).

Cancelling $mu$ and simplifying,

5k+6=2k+10.5,\qquad 3k=4.5,\qquad \boxed{k=1.5}.

M1 2025 June Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程