两小球 $P$ 和 $Q$ 的质量分别为 $kM$ 和 $3M$，其中 $k<3$。

两球连接于一根不可伸长的轻绳的两端，绳跨过一个固定的轻质光滑滑轮。

如图 5 所示，系统被保持静止，绳绷紧，悬挂的绳段均竖直。

系统由静止释放，在随后的运动中，$P$ 的加速度大小为 $\frac15g$。

将两球视为质点。

(a) 写出 $P$ 的运动方程。

(b) 求 $k$ 的值。

已知 $M=0.5\,\mathrm{kg}$，

(c) 求 $Q$ 向下运动时绳对滑轮施加的力的大小。

系统释放的瞬间，$P$ 距滑轮超过 $2.5\,\mathrm{m}$，$Q$ 位于水平地面上方 $2.5\,\mathrm{m}$ 处。 $Q$ 撞击地面后，以速率 $0.4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 反弹。

(d) 求 $Q$ 撞击地面时所受冲量的大小。

在随后的运动中，$P$ 未碰到滑轮。

(e) 求从两球释放到 $P$ 首次静止的总时间。

$k<3$ 所以 $P$ 较轻，向上加速。对质量为 $kM$ 的 $P$ 列向上的运动方程，并代入给定加速度 $g/5$。

Since $k<3$, $P$ accelerates upwards. Let the common string tension be $T$. For $P$, taking upwards as positive,

对向下加速的 $Q$ 列方程，与 $P$ 的方程相加消去张力。

For $Q$, taking downwards as positive,

Adding the two equations of motion,

用 $M=0.5$ 和 $k=2$ 求张力。两段绳对滑轮的拉力都向下，所以总力为两倍张力。

The mass of $P$ is $kM=1$ kg. Its equation of motion is

Both vertical string sections pull downwards on the pulley, so the force magnitude is

落地前 $Q$ 从静止以加速度 $g/5$ 下落 2.5 m，先求速度。碰后向上 0.4，冲量的速度变化须计及反向，质量为 $3M=1.5$ kg。

Let $v$ be the speed of $Q$ immediately before impact. While the string is taut,

Take upwards as positive. The velocity changes from $-\sqrt g$ to $+0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. With $3M=1.5$ kg, the impulse is

Its magnitude is $\boxed{5.30\ \mathrm{N\,s}}$ (3 s.f.).

第一阶段直到 $Q$ 落地，$P$ 也以速率 $\sqrt g$ 上升；随后两段绳的总直线长度减小，绳松弛，$P$ 只受重力继续上升到零速度。分别求两阶段时间再相加。

Let $t_1$ be the time until $Q$ first strikes the ground. Using its speed $\sqrt g$ and acceleration $g/5$,

At impact, $P$ continues upwards at speed $\sqrt g$. As $Q$ rebounds upwards, the string becomes slack, so $P$ then moves freely under gravity. It does not hit the pulley.

Let $t_2$ be the further time until $P$ first comes to rest:

Thus the total time is