题目

Problem

A plank $AB$ , of length $6\,\mathrm{m}$ and mass $4\,\mathrm{kg}$ , rests in equilibrium horizontally on two supports at $C$ and $D$ , where $AC=2\,\mathrm{m}$ and $DB=1\,\mathrm{m}$ .

A brick of mass $2\,\mathrm{kg}$ rests on the plank at $A$ and a brick of mass $3\,\mathrm{kg}$ rests on the plank at $B$ , as shown in Figure 1.

The plank is modelled as a uniform rod and all bricks are modelled as particles.

(a) Find the magnitude of the reaction exerted on the plank

(i) by the support at $C$ ,

(ii) by the support at $D$ .

(6)

The $3\,\mathrm{kg}$ brick is now removed and replaced with a brick of mass $x\,\mathrm{kg}$ at $B$ .

The plank remains horizontal and in equilibrium but the reactions on the plank at $C$ and at $D$ now have equal magnitude.

(b) Find the value of $x$ .

(4)

题目中文翻译

一块长 $6\,\mathrm{m}$ 、质量为 $4\,\mathrm{kg}$ 的木板 $AB$ 水平静止平衡于 $C$ 、 $D$ 两点的支座上，其中 $AC=2\,\mathrm{m}$ ， $DB=1\,\mathrm{m}$ 。

如图 1 所示，一块质量为 $2\,\mathrm{kg}$ 的砖放在木板的 $A$ 点，一块质量为 $3\,\mathrm{kg}$ 的砖放在木板的 $B$ 点。

将木板视为均匀杆，将所有砖视为质点。

(a) 求下列支座对木板施加的支持力大小：

(i) $C$ 点的支座，

(ii) $D$ 点的支座。

(6)

现移去 $3\,\mathrm{kg}$ 的砖，换成一块质量为 $x\,\mathrm{kg}$ 的砖放在 $B$ 点。

木板仍保持水平平衡，但此时 $C$ 、 $D$ 两点处对木板的支持力大小相等。

(b) 求 $x$ 的值。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

均匀木板的重心在中点。先绕 $D$ 取矩以消去 $D$ 的支持力，再用竖直平衡求另一支持力。

答题过程

展开

Let the reactions at $C$ and $D$ be $R_C$ and $R_D$ . The plank’s weight $4g$ acts at its midpoint $G$ , with

CG=1\text{ m},\quad GD=2\text{ m},\quad CD=3\text{ m}.

(i) Taking moments about $D$ ,

\begin{align*} 3R_C+(3g)(1)=&\,(4g)(2)+(2g)(5),\\ 3R_C=&\,15g,\\ R_C=&\,5g=\boxed{49\text{ N}}. \end{align*}

(ii) Resolving vertically,

R_C+R_D=(4+2+3)g=9g.

Thus

R_D=9g-5g=4g=\boxed{39.2\text{ N}}.

(b)

解法一

思路

展开

换砖后支持力需要重新计算。将两个新支持力共同记为 $R$ ，结合总重量和力矩方程消去 $R$ 。

答题过程

展开

Let each new reaction be $R$ . Vertical equilibrium gives

2R=(6+x)g.

Taking moments about $D$ ,

3R+xg=4g(2)+2g(5)=18g.

Substituting $R=(6+x)g/2$ and cancelling $g$ ,

\begin{align*} \frac32(6+x)+x=&\,18,\\ 9+\frac52x=&\,18,\\ x=&\,\boxed{3.6}. \end{align*}

M1 2025 Oct A Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程