题目

Problem

Particle $P$ of mass $7m$ and particle $Q$ of mass $3m$ are moving in opposite directions along the same straight line on a smooth horizontal surface. The particles collide directly.

Immediately before the collision, the speed of $P$ is $ku$ and the speed of $Q$ is $u$ , as shown in Figure 2.

Immediately after the collision, the speed of $P$ is $w$ and the speed of $Q$ is $2w$ .

The direction of motion of $Q$ is reversed by the collision.

The impulse received by $Q$ in the collision has magnitude $\frac72mu$ .

(a) Find $w$ in terms of $u$ .

(3)

(b) Find the two possible values of $k$ .

(5)

题目中文翻译

质量为 $7m$ 的质点 $P$ 和质量为 $3m$ 的质点 $Q$ 在光滑水平面上沿同一直线相向运动，并发生正碰。

如图 2 所示，碰撞前一瞬间， $P$ 的速率为 $ku$ ， $Q$ 的速率为 $u$ 。

碰撞后瞬间， $P$ 的速率为 $w$ ， $Q$ 的速率为 $2w$ 。

碰撞使 $Q$ 的运动方向反转。

碰撞过程中 $Q$ 所受冲量的大小为 $\frac72mu$ 。

(a) 用 $u$ 表示 $w$ 。

(3)

(b) 求 $k$ 的两个可能值。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

以 $P$ 碰撞前的运动方向为正方向。 $Q$ 反向运动，因此它的速度由 $-u$ 变成 $2w$ ；冲量等于有符号的动量变化。

答题过程

展开

Take the initial direction of motion of $P$ as positive. For $Q$ ,

\begin{align*} I=&\,3m\bigl(2w-(-u)\bigr),\\ \frac72mu=&\,3m(2w+u),\\ \frac12u=&\,6w. \end{align*}

Therefore

\boxed{w=\frac{u}{12}}.

(b)

解法一

思路

展开

题目给出的是 $P$ 的速率，并未指定碰撞后的方向，因此分别考虑速度为 $w$ 与 $-w$ 的情况。两球所受碰撞冲量大小相等、方向相反。

答题过程

展开

The impulse on $P$ is $-\frac72mu$ . If its velocity after the collision is $v_P$ , then

\begin{align*} 7m(v_P-ku)=&\,-\frac72mu,\\ v_P=&\,ku-\frac12u. \end{align*}

Since the speed of $P$ after the collision is $w=u/12$ , there are two cases.

If $P$ continues in its original direction,

\frac{u}{12}=ku-\frac{u}{2} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac7{12}.

If $P$ reverses direction,

-\frac{u}{12}=ku-\frac{u}{2} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac5{12}.

Both cases allow the particles to separate, since $Q$ has velocity $2w$ and $P$ has velocity $w$ or $-w$ . Thus

\boxed{k=\frac7{12}\ \text{or}\ \frac5{12}}.

M1 2025 Oct Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程