[本题中，$\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 为水平且互相垂直的单位向量。]

质量为 $2\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 在两个力 $\mathbf{F}_1$ 和 $\mathbf{F}_2$ 作用下沿光滑水平面运动，其中 $\mathbf{F}_1=(-2\mathbf{i}+3\mathbf{j})\,\mathrm{N}$，$\mathbf{F}_2=(4\mathbf{i}+2\mathbf{j})\,\mathrm{N}$。

(a) 求 $P$ 的加速度。

在 $t=0$ 时，$P$ 的速度为 $(3\mathbf{i}-4\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(b) 求 $t=3$ 秒时 $P$ 的速率。

现对 $P$ 施加另一个力 $\mathbf{F}_3=(b\mathbf{i}+c\mathbf{j})\,\mathrm{N}$。

$\mathbf{F}_1$、$\mathbf{F}_2$ 和 $\mathbf{F}_3$ 的合力等于 $\lambda(\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{N}$，其中 $\lambda$ 为常数。

(c) 证明 $b-c=3$。

$\mathbf{F}_1$、$\mathbf{F}_2$ 和 $\mathbf{F}_3$ 的合力大小为 $10\sqrt2\,\mathrm{N}$。

(d) 求力 $\mathbf{F}_3$ 的两个可能值。

先按分量相加求合力，再用牛顿第二定律除以质量。

The resultant force is

Using $\mathbf R=2\mathbf a$,

恒定合力产生恒定加速度，先求速度向量，最后求模。速率不是两个速度分量的和。

Using $\mathbf v=\mathbf u+t\mathbf a$ at $t=3$,

Hence the speed is

合力平行于 $\mathbf i+\mathbf j$，意味着两个分量相等；它也可能指向相反方向。

With the additional force, the resultant is

Since $\mathbf R$ is parallel to $\mathbf i+\mathbf j$,

Therefore

利用上一问把合力的两个分量写成相同的量，再由模长求出正、负两种可能。

Since $2+b=5+c$ and $|\mathbf R|=10\sqrt2$,

If $5+c=10$, then $c=5$ and $b=8$.

If $5+c=-10$, then $c=-15$ and $b=-12$.

Thus the two possible additional forces are

也可将合力设为 $\lambda(\mathbf i+\mathbf j)$。模长只能确定 $\lambda$ 的绝对值，不能假定它为正。

Write

Its magnitude is $|\lambda|\sqrt2=10\sqrt2$, so $\lambda=10$ or $-10$. Comparing components,

Therefore $(b,c)=(8,5)$ or $(-12,-15)$, giving