质量为 $2m$ 的物块 $P$ 被保持静止在固定的粗糙斜面上。

斜面与水平面成 $\alpha$ 角，其中 $\tan\alpha=\frac5{12}$。

一根不可伸长的轻绳的一端连接于 $P$。 绳平行于斜面的一条最大坡度线，并跨过一个固定在斜面顶端的光滑轻质滑轮。 绳的另一端连接于质量为 $5m$ 的物块 $Q$。 如图 5 所示，物块 $Q$ 竖直悬挂在滑轮下方。

系统由静止释放，绳绷紧，物块 $P$ 沿斜面向上运动。

系统释放后瞬间，绳中的张力为 $T$，两物块的加速度为 $a$。

将两物块视为质点，并忽略空气阻力。

(a) 写出 $Q$ 的运动方程。

$P$ 与斜面之间的摩擦系数为 $\frac18$。

(b) 用 $m$ 和 $g$ 表示 $T$。

(c) 说明 (b) 的解答如何运用绳不可伸长这一条件。

绳对滑轮施加的力的大小为 $kmg$。

(d) 求 $k$ 的值，保留 3 位有效数字。

$Q$ 向下加速，取向下为正方向，重力与张力反向。

Taking downwards as positive for $Q$, Newton’s second law gives

由 $5$—$12$—$13$ 直角三角形求斜面的三角比。$P$ 向上运动，摩擦力沿斜面向下；联立两个物体的运动方程。

Since $\tan\alpha=5/12$,

For $P$, resolving perpendicular to the plane gives

Thus the friction is

acting down the plane. Resolving up the plane for $P$,

Adding this to $5mg-T=5ma$ yields

Substituting into the equation for $P$,

不可伸长约束的是两端沿绳方向的运动。张力相等所依赖的是轻绳和光滑滑轮，应区分这些模型假设。

The string is inextensible, so the two blocks have equal acceleration magnitudes while the string remains taut. This allows the same $a$ to be used in both equations of motion.

滑轮受到两段绳各自的拉力。将斜段拉力分解为水平向左和竖直向下的分量，再与竖直段拉力合成。

Each section of string pulls on the pulley with tension $T=15mg/7$. The horizontal and downward components of their resultant are

Hence the magnitude of the force is

Since $F=kmg$,

两拉力大小相等，合力沿夹角平分线。确定两段绳对滑轮的拉力夹角后，用每个力在角平分线上的分量求和。

The angle between the two tension forces is $90^\circ-\alpha$. Their resultant lies along the angle bisector, so

Using the half-angle identity,

Therefore

and