题目

Problem

[In this question $\mathbf{i}$ and $\mathbf{j}$ are unit vectors directed due east and due north respectively.]

A particle $P$ is moving with constant velocity $(-6\mathbf{i}+2\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

At time $t=0$ , $P$ passes through the point with position vector $(21\mathbf{i}+5\mathbf{j})\,\mathrm{m}$ , relative to a fixed origin $O$ .

(a) Find the direction of motion of $P$ , giving your answer as a bearing to the nearest degree.

(3)

(b) Write down the position vector of $P$ at time $t$ seconds.

(1)

(3)

题目中文翻译

[本题中， $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 分别为指向正东和正北的单位向量。]

质点 $P$ 以恒定速度 $(-6\mathbf{i}+2\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动。

在 $t=0$ 时， $P$ 经过相对于固定原点 $O$ 的位置向量为 $(21\mathbf{i}+5\mathbf{j})\,\mathrm{m}$ 的点。

(a) 求 $P$ 的运动方向，以方位角表示，精确到最接近的整数度。

(3)

(b) 写出 $t$ 秒时 $P$ 的位置向量。

(1)

(3)

解答

(a)

解法一

思路

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速度指向西北象限，先求偏北于正西的角，再加到 $270^\circ$ 上。方位角从正北顺时针量起。

答题过程

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The velocity has westward component $6$ and northward component $2$ . Let $\alpha$ be the angle north of west. Then

\tan\alpha=\frac26=\frac13, \qquad\alpha=18.4349\ldots^\circ.

The bearing is

270^\circ+\alpha=288.4349\ldots^\circ =\boxed{288^\circ}

to the nearest degree.

(b)

解法一

思路

展开

匀速运动的位置向量等于初位置加上速度乘时间。

答题过程

展开

The position vector at time $t$ is

\boxed{\mathbf r=(21-6t)\mathbf i+(5+2t)\mathbf j\text{ m}}.

(c)

解法一

思路

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正西北要求水平分量为负、竖直分量为正且绝对值相等。先解分量关系，再回代检查象限。

答题过程

展开

For $P$ to be north-west of $O$ ,

21-6t=-(5+2t).

Therefore

26=4t\quad\Longrightarrow\quad\boxed{t=6.5\text{ s}}.

At this time,

\mathbf r=-18\mathbf i+18\mathbf j\text{ m},

which is indeed north-west of $O$ .

M1 2026 Jan A Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程