题目

Problem

A particle $P$ of mass $3m$ and a particle $Q$ of mass $5m$ are on a smooth horizontal surface. The particles move towards each other in opposite directions along the same straight line and collide.

Immediately before the collision, the speed of $P$ is $3u$ and the speed of $Q$ is $4u$

The magnitude of the impulse exerted on $P$ by $Q$ in the collision is $\frac{33}{2}mu$

Find

(i) the speed of $P$ immediately after the collision,

(ii) the speed of $Q$ immediately after the collision.

(6)

题目中文翻译

质量为 $3m$ 的质点 $P$ 和质量为 $5m$ 的质点 $Q$ 位于光滑水平面上。两质点沿同一直线相向运动并发生碰撞。

碰撞前一瞬间， $P$ 的速率为 $3u$ ， $Q$ 的速率为 $4u$ 。

碰撞过程中 $Q$ 对 $P$ 施加的冲量大小为 $\frac{33}{2}mu$ 。

求

(i) 碰撞后瞬间 $P$ 的速率，

(ii) 碰撞后瞬间 $Q$ 的速率。

(6)

解答

(i)

解法一

思路

展开

取 $P$ 原来的运动方向为正方向。碰撞冲量与这个方向相反；得到的负速度要转成正的速率。

答题过程

展开

Take the original direction of motion of $P$ as positive. If its velocity after impact is $v$ , the impulse–momentum equation is

\begin{align*} 3m(v-3u)=&\,-\frac{33}{2}mu,\\ v-3u=&\,-\frac{11}{2}u,\\ v=&\,-\frac52u. \end{align*}

Thus $P$ reverses direction and its speed is $\boxed{\frac52u}$ .

(ii)

解法一

思路

展开

$Q$ 所受冲量与 $P$ 所受冲量等大反向。 $Q$ 的初速度为 $-4u$ ，求得末速度后取绝对值。

答题过程

展开

The impulse on $Q$ is $\frac{33}{2}mu$ in the positive direction. If its final velocity is $w$ ,

\begin{align*} 5m\bigl(w-(-4u)\bigr)=&\,\frac{33}{2}mu,\\ w+4u=&\,\frac{33}{10}u,\\ w=&\,-\frac7{10}u. \end{align*}

Therefore the speed of $Q$ is $\boxed{\frac7{10}u}$ .

解法二

思路

展开

也可对两个粒子整体使用动量守恒，但必须使用上一问有符号的末速度 $-5u/2$ 。

答题过程

展开

Conserving momentum in the original direction of motion of $P$ ,

3m(3u)+5m(-4u)=3m\left(-\frac52u\right)+5mw.

Thus

-11mu=-\frac{15}{2}mu+5mw, \qquad w=-\frac7{10}u.

Hence the speed of $Q$ is $\boxed{\frac7{10}u}$ .

M1 2026 Jan Q1

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程