题目

Problem

A particle moves on a smooth horizontal plane under the action of three horizontal forces, $\mathbf{F}_1$ , $\mathbf{F}_2$ and $\mathbf{F}_3$ , where

\mathbf{F}_1=(2p\mathbf{i}-3p\mathbf{j})\,\mathrm{N}

\mathbf{F}_2=(q\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{N}

\mathbf{F}_3=(3\mathbf{i}-q\mathbf{j})\,\mathrm{N}

where $p$ and $q$ are constants.

The resultant force acts in the direction of the vector $(4\mathbf{i}-5\mathbf{j})$

(a) Show that

2p-q=19

(4)

The mass of the particle is $0.5\,\mathrm{kg}$ .

Given that $p=7$

(b) find the acceleration of the particle.

(4)

题目中文翻译

一个质点在三个水平力 $\mathbf{F}_1$ 、 $\mathbf{F}_2$ 和 $\mathbf{F}_3$ 作用下沿光滑水平面运动，其中

\mathbf{F}_1=(2p\mathbf{i}-3p\mathbf{j})\,\mathrm{N}

\mathbf{F}_2=(q\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{N}

\mathbf{F}_3=(3\mathbf{i}-q\mathbf{j})\,\mathrm{N}

$p$ 和 $q$ 为常数。

合力沿向量 $(4\mathbf{i}-5\mathbf{j})$ 的方向作用。

(a) 证明

2p-q=19

(4)

质点的质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$ 。

已知 $p=7$ ，

(b) 求质点的加速度。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

合力先按分量相加，再利用其与 $(4,-5)$ 平行的条件。可交叉相乘而不直接除以含未知数的分量。

答题过程

展开

The resultant force is

\begin{align*} \mathbf R=&\,(2p\mathbf i-3p\mathbf j)+(q\mathbf i+\mathbf j)+(3\mathbf i-q\mathbf j)\\ =&\,(2p+q+3)\mathbf i+(-3p+1-q)\mathbf j. \end{align*}

Since it acts in the direction of $4\mathbf i-5\mathbf j$ ,

-5(2p+q+3)=4(-3p+1-q).

Expanding and simplifying,

\begin{align*} -10p-5q-15=&\,-12p+4-4q,\\ 2p-q=&\,\boxed{19}, \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

题目要求加速度向量，应将合力向量除以质量，而不是只求模。

答题过程

展开

With $p=7$ ,

14-q=19\quad\Longrightarrow\quad q=-5.

Thus

\begin{align*} \mathbf R=&\,(14-5+3)\mathbf i+(-21+1+5)\mathbf j\\ =&\,12\mathbf i-15\mathbf j. \end{align*}

Using Newton’s second law,

12\mathbf i-15\mathbf j=0.5\mathbf a.

Therefore

\boxed{\mathbf a=24\mathbf i-30\mathbf j\text{ m s}^{-2}}.

M1 2026 Jan Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程