题目

Problem

Figure 2 shows a uniform rod $AB$ of length $6\,\mathrm{m}$ suspended by two light vertical ropes.

The first rope is attached to the rod at $A$ . The second rope is attached to the rod at the point $C$ , where $CB=0.4\,\mathrm{m}$ .

The rod has mass $30\,\mathrm{kg}$ .

A particle of mass $20\,\mathrm{kg}$ is now attached to the rod at $B$ .

The rod is in equilibrium in a horizontal position.

(a) Find

(i) the tension in the rope attached to the rod at $C$ ,

(ii) the tension in the rope attached to the rod at $A$ .

(6)

The particle of mass $20\,\mathrm{kg}$ at $B$ is removed and replaced by a particle of mass $M\,\mathrm{kg}$ .

The rod remains in equilibrium in a horizontal position.

(b) Find the exact maximum value of $M$ .

(3)

题目中文翻译

图 2 所示的均匀杆 $AB$ 长 $6\,\mathrm{m}$ ，由两根竖直轻绳悬挂。

第一根绳连接于杆上的 $A$ 点。第二根绳连接于杆上的 $C$ 点，其中 $CB=0.4\,\mathrm{m}$ 。

杆的质量为 $30\,\mathrm{kg}$ 。

现将一个质量为 $20\,\mathrm{kg}$ 的质点连接于杆上的 $B$ 点。

杆处于水平平衡状态。

(a) 求

(i) 连接于 $C$ 点的绳中的张力，

(ii) 连接于 $A$ 点的绳中的张力。

(6)

移去 $B$ 点处质量为 $20\,\mathrm{kg}$ 的质点，换成一个质量为 $M\,\mathrm{kg}$ 的质点。

杆仍保持水平平衡。

(b) 求 $M$ 的精确最大值。

(3)

解答

(a)

解法一

思路

展开

杆的重量作用于中点。绕 $A$ 取矩先求 $C$ 处张力，再由竖直平衡求 $A$ 处张力，使用未舍入值相减。

答题过程

展开

Let the tensions be $T_C$ and $T_A$ . The rod’s centre of mass is $3\text{ m}$ from $A$ , and $AC=5.6\text{ m}$ .

(i) Taking moments about $A$ ,

5.6T_C=30g(3)+20g(6).

Hence

T_C=37.5g=367.5\text{ N} =\boxed{368\text{ N}}\quad(3\text{ s.f.}).

(ii) Resolving vertically,

T_A+T_C=50g.

Thus

T_A=50g-37.5g=12.5g=122.5\text{ N} =\boxed{123\text{ N}}\quad(3\text{ s.f.}).

(b)

解法一

思路

展开

增大 $B$ 处质量会减小 $A$ 处张力。绳不能提供向下的力，因此最大质量对应 $A$ 处张力刚好为零；此时绕 $C$ 取矩。

答题过程

展开

At the greatest possible mass, the rope at $A$ has zero tension. Taking moments about $C$ ,

Mg(0.4)=30g(2.6).

Cancelling $g$ gives

\boxed{M=\frac{30(2.6)}{0.4}=195}.

For larger $M$ , equilibrium would require a downward force at $A$ , which the rope cannot provide.

M1 2026 Jan Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程