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M1 2026 Jan Q6

A Level / Edexcel / M1

IAL 2026 Jan Paper · Question 6

题目

Problem

6.

[In this question i\mathbf{i} and j\mathbf{j} are horizontal unit vectors directed due east and due north respectively and position vectors are given relative to a fixed origin OO.]

At 9 am, a ship SS leaves a harbour and moves with constant velocity (10i+15j) km h−1(10\mathbf{i}+15\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}

(a) Find the exact speed of SS

(2)

The harbour is at the origin OO.

At 9 am, a boat BB leaves the point with position vector (50i+10j) km(50\mathbf{i}+10\mathbf{j})\,\mathrm{km} and moves with constant velocity (−8i+10j) km h−1(-8\mathbf{i}+10\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}}

(b) Find the direction in which BB is moving, giving your answer as a bearing to the nearest degree.

(3)

(c) Show that at time tt hours after 9 am,

SB→=[(50−18t)i+(10−5t)j] km\overrightarrow{SB}=\big[(50-18t)\mathbf{i}+(10-5t)\mathbf{j}\big]\,\mathrm{km}
(4)

(d) Show that BB and SS do not collide.

(3)

When BB is north-east of SS, the distance between SS and BB is d kmd\,\mathrm{km}.

(e) Find the value of dd.

(4)
题目中文翻译

[本题中，i\mathbf{i} 和 j\mathbf{j} 分别为指向正东和正北的水平单位向量，位置向量均相对于固定原点 OO 给出。]

上午 9 时，船 SS 离开港口，以恒定速度 (10i+15j) km h−1(10\mathbf{i}+15\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}} 航行。

(a) 求 SS 的精确速率。

(2)

港口位于原点 OO。

上午 9 时，船 BB 从位置向量为 (50i+10j) km(50\mathbf{i}+10\mathbf{j})\,\mathrm{km} 的点出发，以恒定速度 (−8i+10j) km h−1(-8\mathbf{i}+10\mathbf{j})\,\mathrm{km\,h^{-1}} 航行。

(b) 求 BB 的运动方向，以方位角表示，精确到最接近的整数度。

(3)

(c) 证明上午 9 时之后 tt 小时时，

SB→=[(50−18t)i+(10−5t)j] km\overrightarrow{SB}=\big[(50-18t)\mathbf{i}+(10-5t)\mathbf{j}\big]\,\mathrm{km}
(4)

(d) 证明 BB 和 SS 不会相撞。

(3)

当 BB 位于 SS 的东北方向时，SS 和 BB 之间的距离为 d kmd\,\mathrm{km}。

(e) 求 dd 的值。

(4)
题目勘误

官方原题：(e) 写作“When B is north-east of S”。

实际上应为：现有位置与速度条件下，BB 从未位于 SS 的正东北；两相对分量相等时均为负，实际是正西南。官方评分标准第18页也明确提及 SW/NE error，但没有在该处给出替换题面的正式更正通知。

本页保留官方英文及忠实翻译，未替换原方向条件。解答区分别说明原条件无解及西南情形下的距离。

解答

(a)

解法一

思路

展开

速率是速度向量的模；题目要求精确值，保留根式。

答题过程

展开

The speed of SS is

102+152=325=513 km h−1.\sqrt{10^2+15^2}=\sqrt{325} =\boxed{5\sqrt{13}\text{ km h}^{-1}}.

(b)

解法一

思路

展开

BB 的速度向西、向北，故方向在西北象限。先求偏西于正北的角，再从 360∘360^\circ 减去这个角。

答题过程

展开

The boat moves 8 km h−18\text{ km h}^{-1} westwards and 10 km h−110\text{ km h}^{-1} northwards. Let θ\theta be the angle west of north. Then

tan⁡θ=810,θ=38.6598…∘.\tan\theta=\frac8{10},\qquad \theta=38.6598\ldots^\circ.

The bearing is

360∘−θ=321.340…∘=321∘360^\circ-\theta=321.340\ldots^\circ =\boxed{321^\circ}

to the nearest degree.

(c)

解法一

思路

展开

分别写出两船从上午9时起的位置向量。SB→\overrightarrow{SB} 是终点 BB 的位置减去起点 SS 的位置。

答题过程

展开

At time tt hours after 9 am,

rS=10ti+15tj,\mathbf r_S=10t\mathbf i+15t\mathbf j, rB=(50−8t)i+(10+10t)j.\mathbf r_B=(50-8t)\mathbf i+(10+10t)\mathbf j.

Therefore

SB→= rB−rS= [(50−8t)−10t]i+[(10+10t)−15t]j= (50−18t)i+(10−5t)j km,\begin{align*} \overrightarrow{SB}=&\,\mathbf r_B-\mathbf r_S\\ =&\,[(50-8t)-10t]\mathbf i+[(10+10t)-15t]\mathbf j\\ =&\,\boxed{(50-18t)\mathbf i+(10-5t)\mathbf j\text{ km}}, \end{align*}

as required.

(d)

解法一

思路

展开

相撞需要两个相对位置分量在同一时刻同时为零。分别求时间，比较是否一致。

答题过程

展开

A collision would require

50−18t=0and10−5t=0.50-18t=0\quad\text{and}\quad10-5t=0.

The first equation gives t=25/9t=25/9, while the second gives t=2t=2. These are different times, so both components cannot vanish simultaneously. Hence B and S do not collide\boxed{B\text{ and }S\text{ do not collide}}.

解法二

思路

展开

也可求距离平方的最小值。若它严格大于零，就证明任何时刻都不会相撞。

答题过程

展开

Let the separation be D kmD\text{ km}. Then

D2= (50−18t)2+(10−5t)2= 349t2−1900t+2600= 349(t−950349)2+4900349.\begin{align*} D^2=&\,(50-18t)^2+(10-5t)^2\\ =&\,349t^2-1900t+2600\\ =&\,349\left(t-\frac{950}{349}\right)^2+\frac{4900}{349}. \end{align*}

Since 950/349>0950/349>0, the minimum for t≥0t\geq0 is attained at this time and equals

Dmin⁡2=4900349>0.D_{\min}^2=\frac{4900}{349}>0.

Therefore the boats never collide.

解法三

思路

展开

第三种方法检查距离平方为零的方程是否有实根，负判别式即可排除相撞。

答题过程

展开

For a collision,

(50−18t)2+(10−5t)2=0,(50-18t)^2+(10-5t)^2=0,

so

349t2−1900t+2600=0.349t^2-1900t+2600=0.

Its discriminant is

(−1900)2−4(349)(2600)=−19600<0.(-1900)^2-4(349)(2600)=-19600<0.

There is no real solution for tt, so BB and SS do not collide.

(e)

解法一

思路

展开

正东北要求两个相对分量相等且为正。不能只检验相等而忽略正负号；本题原方向条件存在矛盾，须将原条件与西南情形区分。

答题过程

展开

For BB to be north-east of SS, the components of SB→\overrightarrow{SB} must be equal and positive. Equating them gives

50−18t= 10−5t,40= 13t,t= 4013.\begin{align*} 50-18t=&\,10-5t,\\ 40=&\,13t,\\ t=&\,\frac{40}{13}. \end{align*}

But at this time,

50−18t=10−5t=−7013<0.50-18t=10-5t=-\frac{70}{13}<0.

Thus BB is south-west of SS, and there is no time satisfying the stated north-east condition. Consequently, dd is not defined under the original condition.

For the south-west configuration instead, the separation is

d= (−7013)2+(−7013)2= 70213= 7.61 km(3 s.f.).\begin{align*} d=&\,\sqrt{\left(-\frac{70}{13}\right)^2+\left(-\frac{70}{13}\right)^2}\\ =&\,\frac{70\sqrt2}{13}\\ =&\,\boxed{7.61\text{ km}}\quad(3\text{ s.f.}). \end{align*}
卓老师温馨提醒

原题的正东北条件没有对应时刻，不能把负的相对分量直接说成正东北。上面的 7.61 km7.61\text{ km} 对应正西南情形。配对官方评分标准给出该距离，并在第18页明确提及 SW/NE error、要求将受此错误影响的作答送交复核；这不等于原东北条件在数学上成立，也不构成对个别作答得分的保证。