一个粗糙斜面与水平面成 $\theta$ 角，其中 $\tan\theta=\frac43$。

一根不可伸长的轻绳的一端连接于包裹 $P$。 绳跨过一个固定在斜面顶端的光滑滑轮。 从 $P$ 到滑轮的一段绳沿斜面的最大坡度线放置。 绳的另一端连接于一个桶。 包裹 $P$ 的质量为 $1\,\mathrm{kg}$，被保持静止在斜面上。 如图 3 所示，桶的质量为 $0.45\,\mathrm{kg}$，竖直悬挂在滑轮下方，绳绷紧。

$P$ 与斜面之间的摩擦系数为 $\mu$。

将一个质量为 $0.2\,\mathrm{kg}$ 的小物块放入桶中后，释放系统，系统仍静止并处于极限平衡状态，$P$ 恰好要沿斜面向下滑动。

(a) 证明 $\mu=\frac14$。

向桶内逐个加入更多相同的、质量为 $0.2\,\mathrm{kg}$ 的物块，直到 $P$ 开始沿斜面向上运动。 $P$ 开始沿斜面向上运动的瞬间，桶内共有 $n$ 个物块。

(b) 求

(i) $n$ 的值，

(ii) $P$ 的初始加速度大小。

$P$ 恰要向下滑，摩擦力应沿斜面向上。先求桶和一个物块静止时的张力，再求平衡所需摩擦力，与极限摩擦力相等。

Since $\tan\theta=4/3$,

The bucket and one block are at rest, so

For $P$, the normal reaction is

As $P$ is on the point of slipping down the plane, friction acts up the plane and has magnitude $F=\mu R$. Resolving along the plane,

Therefore

as required.

向上运动时摩擦力改为沿斜面向下。先比较使系统向上启动的临界总重，再取最小整数物块数；求加速度时把所有物块质量都计入惯性质量。

(i) For impending upward motion of $P$, friction acts down the plane, with limiting magnitude

The bucket must outweigh the total opposing force on $P$:

The smallest integer is therefore $\boxed{n=3}$.

(ii) Let $P$ accelerate up the plane with magnitude $a$. The bucket and three blocks accelerate downwards with the same magnitude. Their equations of motion are

Adding to eliminate $T$,

Hence the initial acceleration magnitude is