题目

Problem

A particle of mass $2\,\mathrm{kg}$ is moving with velocity $(5\mathbf{i}+3\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ when it receives an impulse $\mathbf{I}\,\mathrm{N\,s}$ , such that $\mathbf{I}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}$

Immediately after receiving the impulse, the particle is moving with velocity $\lambda(\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where $\lambda$ is a constant.

Given that the magnitude of $\mathbf{I}$ is $\sqrt{40}$ , find the two possible impulses.

(5)

题目中文翻译

质量为 $2\,\mathrm{kg}$ 的质点以速度 $(5\mathbf{i}+3\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动时，受到冲量 $\mathbf{I}\,\mathrm{N\,s}$ ，其中 $\mathbf{I}=a\mathbf{i}+b\mathbf{j}$ 。

受到冲量后瞬间，质点以速度 $\lambda(\mathbf{i}+\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动，其中 $\lambda$ 为常数。

已知 $\mathbf{I}$ 的大小为 $\sqrt{40}$ ，求该冲量的两个可能值。

(5)

解答

解法一

思路

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先用冲量等于动量变化，将冲量写成含 $\lambda$ 的向量，再利用其模长建立二次方程。两个根都须代回求冲量。

答题过程

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Using $\mathbf I=m(\mathbf v-\mathbf u)$ ,

\begin{align*} \mathbf I=&\,2[\lambda\mathbf i+\lambda\mathbf j-(5\mathbf i+3\mathbf j)]\\ =&\,2(\lambda-5)\mathbf i+2(\lambda-3)\mathbf j. \end{align*}

Since $|\mathbf I|=\sqrt{40}$ ,

4(\lambda-5)^2+4(\lambda-3)^2=40.

Dividing by $4$ and expanding,

\begin{align*} 2\lambda^2-16\lambda+34=&\,10,\\ \lambda^2-8\lambda+12=&\,0,\\ (\lambda-2)(\lambda-6)=&\,0. \end{align*}

For $\lambda=2$ , $\mathbf I=-6\mathbf i-2\mathbf j$ .

For $\lambda=6$ , $\mathbf I=2\mathbf i+6\mathbf j$ .

The two possible impulses are therefore

\boxed{(-6\mathbf i-2\mathbf j)\text{ N s}} \quad\text{and}\quad \boxed{(2\mathbf i+6\mathbf j)\text{ N s}}.

M2 2020 Oct Q1

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