题目

Problem

At time $t$ seconds $(t\geqslant0)$ , a particle $P$ has velocity $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where

\mathbf{v}=(3t^2-9t+6)\mathbf{i}+(t^2+t-6)\mathbf{j}

(a) Find the acceleration of $P$ when $t=3$

(3)

When $t=0$ , $P$ is at the fixed point $O$ .

The particle comes to instantaneous rest at the point $A$ .

(b) Find the distance $OA$ .

(7)

题目中文翻译

在 $t$ 秒时 $(t\geqslant0)$ ，质点 $P$ 的速度为 $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，其中

\mathbf{v}=(3t^2-9t+6)\mathbf{i}+(t^2+t-6)\mathbf{j}

(a) 求 $t=3$ 时 $P$ 的加速度。

(3)

当 $t=0$ 时， $P$ 位于固定点 $O$ 。

质点在 $A$ 点瞬时静止。

(b) 求距离 $OA$ 。

(7)

解答

(a)

解法一

思路

展开

对速度向量的每个分量分别求导，再代入时间。题目要求的是加速度向量，不是其大小。

答题过程

展开

Differentiating the velocity,

\mathbf a=\frac{\mathrm{d}\mathbf v}{\mathrm{d}t} =(6t-9)\mathbf i+(2t+1)\mathbf j.

At $t=3$ ,

\boxed{\mathbf a=9\mathbf i+7\mathbf j\text{ m s}^{-2}}.

(b)

解法一

思路

展开

瞬时静止要求两个速度分量同时为零。找到共同时间后积分求位移，最后求 $OA$ 的直线距离，而非曲线路程。

答题过程

展开

At instantaneous rest, both components of velocity must vanish:

3(t-1)(t-2)=0, \qquad(t-2)(t+3)=0.

Their only common solution for $t\geq0$ is $t=2$ .

Integrating the velocity gives

\begin{align*} \mathbf r=&\,\left(t^3-\frac92t^2+6t\right)\mathbf i\\ &\,+\left(\frac13t^3+\frac12t^2-6t\right)\mathbf j+\mathbf c. \end{align*}

Since $\mathbf r=\mathbf0$ at $t=0$ , $\mathbf c=\mathbf0$ . At $t=2$ ,

\overrightarrow{OA}=2\mathbf i-\frac{22}{3}\mathbf j\text{ m}.

Hence

OA=\sqrt{2^2+\left(\frac{22}{3}\right)^2} =\boxed{\frac{2\sqrt{130}}3\text{ m}}.

M2 2020 Oct Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程