[本题中，单位向量 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 位于一个竖直平面内，$\mathbf{i}$ 为水平方向，$\mathbf{j}$ 竖直向上。]

在 $t=0$ 时，一个小球从水平地面上的固定点 $O$ 抛出。球从 $O$ 抛出时的速度为 $(p\mathbf{i}+q\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，其中 $p$ 和 $q$ 为正常数。 球仅在重力作用下运动。

如图 4 所示，在 $t=3$ 秒时，球以速度 $(8\mathbf{i}-12\mathbf{j})\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 经过 $A$ 点。

(a) 求球从 $O$ 抛出瞬间的速率。

在持续 $T$ 秒的一段时间内，球的速率 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 满足 $v\leqslant10$。

(b) 求 $T$ 的值。

在球的轨迹上的 $B$ 点，球的运动方向与其在 $A$ 点的运动方向垂直。

(c) 求 $B$ 相对于 $A$ 的竖直高度。

水平方向无加速度，竖直方向加速度为 $-g$。从 $t=3$ 的速度反推初速度，再求模。

The horizontal velocity is constant, so $p=8$. Vertically,

Hence the initial speed is

速率不超过 $10$ 时，竖直速度必须介于 $-6$ 与 $6$ 之间。求的是这段区间的长度，而非某个时刻。

At time $t$,

For the speed to be at most $10\text{ m s}^{-1}$,

Thus

which gives

Therefore the duration is

两个速度向量垂直，数量积为零。先求 $B$ 点的竖直速度，再用竖直方向的速度平方关系求相对高度。

Let the vertical velocity at $B$ be $v_{By}$. Since the velocities at $B$ and $A$ are perpendicular,

Hence

Let $h$ be the height of $B$ above $A$. From $B$ to $A$, the vertical displacement is $-h$. Thus

Consequently,

也可由垂直条件求 $B$ 的时刻，再比较两点相对地面的竖直位置。必须取高度差。

The perpendicular-velocity condition gives

Therefore

The vertical position at time $t$ is

Since $A$ is reached at $t=3$,