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M2 2021 Jan Q3

A Level / Edexcel / M2

IAL 2021 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

3.

A car of mass 600 kg600\,\mathrm{kg} travels along a straight horizontal road with the engine of the car working at a constant rate of PP watts. The resistance to the motion of the car is modelled as a constant force of magnitude RR newtons. At the instant when the speed of the car is 15 m s−115\,\mathrm{m\,s^{-1}}, the magnitude of the acceleration of the car is 0.2 m s−20.2\,\mathrm{m\,s^{-2}}.

Later the same car travels up a straight road inclined at angle θ\theta to the horizontal, where sin⁡θ=120\sin\theta=\frac1{20}. The resistance to the motion of the car from non-gravitational forces is modelled as a constant force of magnitude RR newtons. When the engine of the car is working at a constant rate of PP watts, the car has a constant speed of 10 m s−110\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

Find the value of PP.

(8)
题目中文翻译

一辆质量为 600 kg600\,\mathrm{kg} 的汽车沿水平直路行驶，其发动机以恒定功率 PP 瓦工作。将汽车所受的运动阻力视为大小为 RR 牛顿的恒力。当汽车速率为 15 m s−115\,\mathrm{m\,s^{-1}} 时，其加速度大小为 0.2 m s−20.2\,\mathrm{m\,s^{-2}}。

随后同一辆汽车沿一条与水平面成 θ\theta 角的直路上坡，其中 sin⁡θ=120\sin\theta=\frac1{20}。将汽车所受的非重力运动阻力视为大小为 RR 牛顿的恒力。当发动机以恒定功率 PP 瓦工作时，汽车的恒定速率为 10 m s−110\,\mathrm{m\,s^{-1}}。

求 PP 的值。

(8)
题目勘误

官方原题：水平路段只给出加速度的大小为 0.2 m s−20.2\text{ m s}^{-2}，没有明确加速度相对于运动的方向。

实际上应为：要唯一得到评分标准的 5220 W5220\text{ W}，还需采用加速度沿运动方向的条件。若加速度反向，同样存在满足原数值条件的 P=12420 WP=12420\text{ W}、R=948 NR=948\text{ N} 分支。

本页保留官方英文及忠实翻译，未替换原题条件；下面分别说明两种方向假设。未查到官方明确更正通知，不把自行核实的方向限定称为官方更正。

解答

解法一

思路

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先采用加速度沿运动方向的分支。功率不变不代表牵引力不变：速率为 1515 和 1010 时，牵引力分别为 P/15P/15 与 P/10P/10。

答题过程

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Take forwards as positive and first use a=+0.2 m s−2a=+0.2\text{ m s}^{-2} on the horizontal road.

Using power == driving force ×\times speed, Newton’s second law on the horizontal road gives

P15−R=600(0.2)=120.(1)\frac P{15}-R=600(0.2)=120.\tag{1}

For constant-speed motion uphill,

P10−R−600gsin⁡θ=0.\frac P{10}-R-600g\sin\theta=0.

Since sin⁡θ=1/20\sin\theta=1/20,

P10−R=30g=294.(2)\frac P{10}-R=30g=294.\tag{2}

Subtracting (1) from (2),

P10−P15=294−120,\frac P{10}-\frac P{15}=294-120, P30=174.\frac P{30}=174.

Thus, for acceleration in the direction of motion,

P=5220 W(3 s.f.).\boxed{P=5220\text{ W}}\quad(3\text{ s.f.}).

Substitution into (1) gives R=228 N>0R=228\text{ N}>0.

解法二

思路

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原题只给加速度大小。若加速度与速度反向，水平路段仍可满足全部给定数值，因此要明确这是另一方向分支，不能无理由把它排除。

答题过程

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If the horizontal-road acceleration is opposite to the direction of motion, take a=−0.2 m s−2a=-0.2\text{ m s}^{-2}. Then

P15−R=−120,\frac P{15}-R=-120,

while the uphill equation remains

P10−R=294.\frac P{10}-R=294.

Subtracting gives

P30=414⟹P=12420 W.\frac P{30}=414 \quad\Longrightarrow\quad P=12420\text{ W}.

The corresponding resistance is

R=1242010−294=948 N.R=\frac{12420}{10}-294=948\text{ N}.

Indeed, at 15 m s−115\text{ m s}^{-1} the net force is

1242015−948=828−948=−120 N,\frac{12420}{15}-948=828-948=-120\text{ N},

so the acceleration is −120/600=−0.2 m s−2-120/600=-0.2\text{ m s}^{-2}, of the required magnitude. For this direction branch,

P=1.24×104 W(3 s.f.).\boxed{P=1.24\times10^4\text{ W}}\quad(3\text{ s.f.}).
卓老师温馨提醒

官方评分标准采用水平路段加速度沿运动方向的分支，得到 5220 W5220\text{ W}。原题字面只给加速度大小；若允许汽车此时减速，P=12420 WP=12420\text{ W}、R=948 NR=948\text{ N} 也满足两段运动条件。第二组并非对第一组计算的否定，而是说明唯一答案还需要方向限定；未查到官方对这一分支的评分说明，不据此保证给分。