题目

Problem

At time $t$ seconds, $t\geqslant0$ , a particle $P$ has velocity $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , where

\mathbf{v}=(5t^2-12t+15)\mathbf{i}+(t^2+8t-10)\mathbf{j}

When $t=0$ , $P$ is at the origin $O$ .

At time $T$ seconds, $P$ is moving in the direction of $(\mathbf{i}+\mathbf{j})$ .

(a) Find the value of $T$ .

(3)

When $t=3$ , $P$ is at the point $A$ .

(b) Find the magnitude of the acceleration of $P$ as it passes through $A$ .

(4)

题目中文翻译

在 $t$ 秒时， $t\geqslant0$ ，质点 $P$ 的速度为 $\mathbf{v}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ，其中

\mathbf{v}=(5t^2-12t+15)\mathbf{i}+(t^2+8t-10)\mathbf{j}

当 $t=0$ 时， $P$ 位于原点 $O$ 。

在 $T$ 秒时， $P$ 沿 $(\mathbf{i}+\mathbf{j})$ 的方向运动。

(a) 求 $T$ 的值。

(3)

当 $t=3$ 时， $P$ 位于 $A$ 点。

(b) 求 $P$ 经过 $A$ 时的加速度大小。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

沿 $\mathbf i+\mathbf j$ 运动要求两个速度分量相等且为正。先解相等条件，再检查方向。

答题过程

展开

Equating the components of velocity at $t=T$ ,

5T^2-12T+15=T^2+8T-10.

Hence

4T^2-20T+25=(2T-5)^2=0,

\boxed{T=\frac52}.

At this time both components equal $65/4>0$ , so the direction is indeed $\mathbf i+\mathbf j$ .

(b)

解法一

思路

展开

先对速度求导得到加速度向量，再代入 $t=3$ 求模。

答题过程

展开

Differentiating,

\mathbf a=(10t-12)\mathbf i+(2t+8)\mathbf j.

At $t=3$ ,

\mathbf a=18\mathbf i+14\mathbf j\text{ m s}^{-2}.

Therefore its magnitude is

|\mathbf a|=\sqrt{18^2+14^2} =\boxed{2\sqrt{130}\text{ m s}^{-2}}.

(c)

解法一

思路

展开

对速度分量分别积分。用初位置为原点确定积分常向量为零，最后代入 $t=3$ 。

答题过程

展开

Integrating the velocity,

\begin{align*} \mathbf r(t)=&\,\left(\frac53t^3-6t^2+15t\right)\mathbf i\\ &\,+\left(\frac13t^3+4t^2-10t\right)\mathbf j+\mathbf c. \end{align*}

Since $\mathbf r(0)=\mathbf0$ , $\mathbf c=\mathbf0$ . At $t=3$ ,

\begin{align*} \overrightarrow{OA}=&\,(45-54+45)\mathbf i+(9+36-30)\mathbf j\\ =&\,\boxed{36\mathbf i+15\mathbf j\text{ m}}. \end{align*}

M2 2021 Jan Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程