固定点 $A$ 位于水平地面上的点 $O$ 正上方 $20\,\mathrm{m}$ 处。在 $t=0$ 时，将质点 $P$ 从 $A$ 以速率 $12\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、与水平面成 $\theta^\circ$ 的仰角抛出。质点仅在重力作用下运动。在 $t=5$ 秒时，$P$ 在 $B$ 点撞击地面，其中 $OB=40\,\mathrm{m}$，如图 4 所示。

(a) 利用能量关系，求 $P$ 在 $B$ 点撞击地面时的速率。

(b) 求 $P$ 从 $A$ 运动到 $B$ 过程中的最小速率。

(c) 求 $P$ 的速率大于 $10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的总时长。

原题数据不能同时成立。本小题仅按初速 $12$ 和落差 $20$ 使用能量关系；得到的速率不代表它能同时满足另给的水平位移与飞行时间。

Using the stated initial speed $12\text{ m s}^{-1}$ and vertical drop $20\text{ m}$, conservation of mechanical energy gives

Thus

so

This follows from the initial speed and drop only; these data are incompatible with the other stated flight data.

本问按水平位移 $40$、飞行时间 $5$ 和落差 $20$ 这一组条件计算。该组条件确定的初速并非 $12$，所以不能与上一问解释为同一运动。最低速率在竖直速度为零时取得。

Using the stated horizontal displacement and flight time, the constant horizontal velocity is

If the vertical drop and flight time are retained, the initial upward component satisfies

so $u_y=20.5\text{ m s}^{-1}$. The highest point is reached at

which is within the $5$-second flight. At this instant the vertical velocity is zero, giving

This calculation uses the displacement, duration and drop; their implied initial speed is $\sqrt{8^2+20.5^2}\ne12\text{ m s}^{-1}$.

继续使用上一问已说明的条件组。速率不超过 $10$ 时，竖直速度介于 $-6$ 与 $6$，这段时间长为 $12/g$。检查区间位于飞行时间内后，再从总时长中减去；不要套用另一组初速求出的边界时刻。

Retaining the displacement, duration and drop as in part (b),

The speed is at most $10\text{ m s}^{-1}$ when

Thus

or approximately $1.48\leq t\leq2.70$. Both endpoints lie between $0$ and $5$. The duration of this interval is

Therefore, for this specified set of flight data, the speed exceeds $10\text{ m s}^{-1}$ for

The endpoints where the speed equals $10$ do not change the length of the time interval.